Главная  Длительная эволюция 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [ 14 ] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86]

X /. sols

г -l~Sqrt[b] -1 + Sqrt[bh 1 2 2 /

У рассмотренного уравнения достаточно простые корни, поэтому обратимся к новому примеру;

2.5. Алгебраические

и трансцендентные уравнения

Уравнения и методы получения их решений - один из важнейших разделов математики. Ниже мы рассмотрим основные функции, применяемые для нахождения символьных решений алгебраических и трансцендентных уравнений. Начнем со случая одного уравнения относительно одной неизвестной:

sols = Solve[x3 - 2х + 1 == 0,х]

Уравнение е = -2х + 1 == О, записанное с помощью предиката Equal, является первым аргументом функции Solve - основной функции, применяемой для решения уравнений. Второй аргумент - переменная, относительно которой решается уравнение. Результатом вычисления выражения с заголовком Solve является список, элементами которого являются одноэлементные списки. Эти элементы есть подстановки вида х ехрг{. Выражение ехрг, - это то, что обычно понимается под корнем уравнения. Если в уравнении е сделать подстановки, полученные в результате вычислений, то результатами будут True, если корни найдены правильно:

хЗ - 2х -Ь1 /. sols

{True, True, True]

Чтобы получить список корней, достаточно сделать подстановку:



newsols = Solve[x"3 - Зх +1 == 0,х]

3 2? . (-27 + 27;5grt[3])

(-27-f-27/5gri[3]) 3 2з

-3{1+ ISqrt[3])

2f(-27 + 27/5gr«[3])3

(1 - /5г[3])(-27 + 27/5grf[3])з

-3(1 - ISqrt[3])

23 (-27 -f 27/59ri[3])J (l + /5grt[3])(-27 + 27/Sgr[3])3 625

В полученных формулах / - встроенная константа, мнимая единица г. На первый взгляд, все три корня - комплексные числа с не равными нулю мнимыми частями. На самом деле корни вещественные. Чтобы в этом убедиться, воспользуемся функцией N, дающей приближенное численное значение выражений, и функцией Plot, рисующей графики. Вычислим выражение:

N [newsols]

{{х 1.53209 - 3.33067 10"/}, {х -1.87939 - 3.88578 10-/}, {х0.347296 + 9.99201 Ю!}}

Результат показывает, что мнимые части корней имеют одинаковый порядок 10. Попробуем увеличить точность вычислений. Для этого воспользуемся тем, что второй необязательный аргумент у функции N задает число значащих цифр вещественных чисел.

N[newsols,25]

{{х 1.532088886237956070404785-f-O.lO"/}



{х -1.879385241571816768108219 + 0.10"/}, {х -> 0.347296355333860697703433 - O.IQ-/}}

Теперь порядок мнимых частей корней Ю". Это говорит о том, что корни - вещественные. Наглядное представление о расположении корней можно получить, нарисовав график функции х - Zx + l с помощью функции Plot (рис. 2.1):

Plot[x-3 - Зх +1, {х, -2,2}]


Рис. 2.1

График наглядно показывает, что кубическая парабола - Зх -f 1 пересекает ось абсцисс в трех точках. Присутствие в newsols мнимой единицы есть результат следующего выбора ветви многозначной функции 2(1/*=) комплексного аргумента Z. Аргумент ip любого комплексного числа считается изменяющимся от -тг до тг, поэтому г/* имеет аргумент (р/к. Например, (-1)/ т.е. кубический корень из минус единицы, равен 1/2 + /\/5/2.

Иное по сравнению с Solve представление для корней уравнений дает функция Roots.

rts = Roots [е,х]

-l~Sqrt[5]

x = l

-l-{-Sqrt[5]



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [ 14 ] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86]

0.002