ДЛЯ вашего компьютера, достаточно вычислить выражение $MachinePrecision. На РС-компьютере автора это число равно 16.

{Precision[l ./7], Accuracy[l./ 7]} {16, 17}

Значения рассматриваемых функций для целых и рациональных чисел равно Infinity. Ек:ли пользователь ввел вещественное число, использовав больше 16 цифр, то оно трактуется как имеющее разрядность, большую, чем разрядность введенного числа, с дополнительными неизвестными цифрами. При вычислениях с такими числами производится анализ, на какие разряды результата вычислений могут воздействовать дополнительные цифры введенного числа. Такие разряды не включаются в результат.

У функции N имеется второй, необязательно указываемый аргумент, который определяет разрядность чисел, используемую при вычислении результата. Если второй аргумент не задан, то, по умолчанию, в вычислениях используется $MachinePrecision цифр, а на экране компьютера результат представлен с шестью цифрами. К функции N обращаются для нахождения численных значений встроенных констант E,Pi, и ДР-:

pm = N[Pi,40]

3.1415926535897932384626433832795028841972

sqad = N[Sqrt[20],25] 4.472135954999579392818347

{Precision[pin], Accuracy [pin], Precision[sqad], Accuracy[sqad]}

{40, 40, 25, 24}

Встроенные алгоритмы „Математики" стремятся, чтобы при вычислении функции N от встроенных констант все цифры

результата были верные. Однако в общем случае не следует ожидать, что все п цифр результата вычисления выражения N[expr,n] верные. Справедливо лишь то, что вычисления велись с заданной пользователем разрядностью, равной п.

Аргументами функций N,Precision и Accuracy могут быть и комплексные числа:

compl = N[Sqrt[20 + 51]] 4.50641 + 0.554765/

{Precision[compl], Accuracy [compl]} {16, 15}

Если в процессе интерактивных вычислений возникают вещественные числа, величиной меньшие, чем 10"°, то с помощью функции Chop их можно отбросить:

{exp = E-(IN[Pi]), Chop[exp]} {-l. + 1.225l510-l -1.}

Задание второго числового аргумента е у функции Chop позволяет отбрасывать вещественные числа, по модулю меньшие е.

Укажем несколько функций в известном смысле обратных по отношению к функции N, т.е. сопоставляющих близкие к вещественным числам целые или рациональные числа. Это прежде всего функции, вычисляющие целую часть числа а, ближайшее к а целое, и ближайшее целое, превосходящее о, - Floor[a],Round[a], Ceiling[a]:

{Floor[5.7], Round[5.7], Ceiling[5.7]}

{5, 6, 6}

Функция Rationalize конвертирует вещественные числа в рациональные. Точность преобразования может быть задана в качестве второго аргумента этой функции:

Rationalize[N[Pi], 0.001]

355 113

Интересно вычислить список нескольких, все более точных приближений числа Pi рациональными числами:

Table[Rationalize[N[Pi], (0.1) i], {i, 7}] .-22 22 355 355 355 355 104348-> 1 7 УИЗИЗПЗПЗ 33215 J

Упражнения

1. Реализуйте с помощью „Математики" следующий способ решения уравнения четвертой степени х* + 2х - 6х + 2i + 1 = 0. Сначала обе части ургшнения делятся на х, а затем вводится новое неизвестное у, связанное с х соотношением у = х + 1/х. Относительно у получается квадратное уравнение. Находятся его решения, а затем х. Проверьте правильность полученных таким способом корней исходного уравнения с помощью их подстановки в это уравнение.

2. Является ли многочлен х* + 4г - 2х - 12х + 9 точным квадратом, т.е. можно ли подобрать три числа р, q и г так, чтобы имело место тождество X* + - 2х - 12х + 9 = (рх +qx + г) ?

3. Убедитесь, что многочлен х + у + нельзя представить в виде произведения (ах + Ьу + cz)(Ax + By + Cz) ни при каких вещественных или комплексных числах а, Ь, с, А, В, С.

4. Проверьте, что функция, являющаяся результатом вычисления выражения Integrate[l/(2-f Cos[x]),x], не есть первообразная функции 1/(2-(-cosx). Напомним, что первообразной функщш /(х) называется такая непрерывная и дифференцируемая функция F(x), что F(x) = = /()-

5. Неявная функция y(i) определяется уравнением ху - (х -f 1)у -- 3 = О и условием у(0) = 3. Найдите значения первой и второй производной функции у(х) при X = 0.

6. Функция z{x,y) определяется как неявная функция уравнением л - - хг -I- уг - 1 = О и условием г(0,0) = 1. Найдите значения первых производных этой функции в точке (0,0).