Главная  Длительная эволюция 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [ 22 ] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86]

7. Найдите численно длину отрезка кривой 4у = (х - 1)*, заключенного внутри параболы t/ = х. Используйте функцию ImplicitPlot директории Graphics и встроенную функцию NIntegrate.

8. Решение задачи Коши для следующей системы Лоренца трех обыкновенных дифференциальных ургюнений

x{t) = -3{xit)-y{t)l

y{t) = -x{t)zit)+30x{t)-y{t),

z(t) = x{t)y{t)-zit)

для промежутка времени t порядка 30 згишмает слишком много времени, если решать эту задачу с помощью встроенной функции NDSolve. В пакете Programming Examples RungeKutta есть функция RungeKut-ta, которая значительно быстрее спргшляется с численным интегриро-вгшием систем обыкновенных дифференциальных ургшнений. Первым аргументом этой функции является список правых чг«:тей автономных систем ОДУ, причем аргумент t у неизвестных функций явно не указывается. Вторым аргументом является список неизвестных функций, третьим аргументом - список начальных значений, в четвертом аргументе указывается интервал изменения независимой переменной и шаг численного интегрирования. Применительно к системе Лоренца обращение к функции RungeKutta может выглядеть следующим образом:

гк = RungeKutta[{-3(x - у), -xz -I- ЗОх - у,ху - z}, {x,y,z},{0,l,0},{30,0.05}];

В результате вычисления получается список гк значений неизвестных функций в точках разбиения интервала изменения независимой переменной. Этот список можно использовать для наглядного представления траектории.

Show[Graphics3D[{Lin€[rk]}], Axes -> True, AxesLabel {"x","y","z"}]

Рисунок демонстрирует наличие так называемого „странного аттрактора" у траекторий системы Лоренца.

Исследуйте, как изменяется рисунок в зависимости от изменений коэффициентов 3 и 30 в системе, а также от интервала и шага интегрирования. Сколько времени занимает численное интегрирование на вашем компьютере ?



Глава 3

ВСТРОЕННАЯ ГРАФИКА

Трудно переоценить значение наглядных образов в научном и инженерном творчестве. Графики и рисунки служат прекрасным средством для лучшего понимания особенностей поведения математических объектов, которые часто остаются скрытыми от исследователя в формульном или тем более численном представлении. „Математика" позволяет строить двух- и трехмерные графики функций и массивов численных данных, контурные и плотностные графики функций от двух аргументов, гистограммы, круговые диаграммы и т.п. В этой главе приводится описание функций, служащих для графического представления математических объектов и данных, а также более мощные средства визуализации, каковыми являются графические примитивы.

3.1. Графические функции и их опции

Встроенные функции, служащие для создания графиков, оканчиваются на Plot в двухмерном случае или на PlotSD - в трехмерном. Следовательно, их точные имена могут быть получены с помощью команд ?*Plot или ?*Plot3D.

ContourPlot

ListPlot

DensityPlot

ParametricPlot

List ContourPlot

Plot

ListDensityPlot

Peu-ametricPlot3D

ListPlot3D

Plot3D

Bee эти функции, кроме аргументов, значения которых обязательно указываются пользователем при обращении к функции, имеют большое количество аргументов необязательных.



AspectRatio

ColourOutput

Frame

PlotRange

Axes

Default Colour

FrameLabel

PlotRegion

AxesLabel

DefaultFont

FrameStyle

Prolog

AxesStyle

DisplayFunction

FrameTicks

RotateLabel

Background

Epilog

PlotLabel

Ticks

Опции задаются в виде правил подстановок, например AspectRatio -> Automatic. По определению, AspectRatio есть отношение высоты к ширине двухмерного рисунка. Пользователь может установить его равным любому числу к, впечатав в качестве третьего аргумента функции выражение AspectRatio -> к. По умолчанию, т.е. если опция пользователем специально не указана, это число равно l/GoldenRatio, где GoldenRatio, „золотое сечение", приближенно равно 1.61803. Установленная на Automatic опция AspectRatio будет определяться алгоритмами „Математики".

Опция Axes определяет, какие из координатных осей будут нарисованы. Возможны три установки: False, при которой ни одна из осей не будет представлена, True - обе оси нарисованы и {Boolean, Boolean), где Boolean принимает значения True или False.

Опция AxesLabel позволяет дать названия осям. Например, {"i","y"} или {"Ttme","5i5na/"} и т.д.

ИЛИ опций. Значения опций установлены по умолчанию, но при желании могут быть изменены пользователем. Первым обязательным аргументом является выражение или список выражений „Математики", которые будут интерпретироваться как функции, задающие линии или поверхности. Второй аргумент, называемый итератор, определяет, какие символы понимаются как аргументы функций и в каких пределах они изменяются. В трехмерном случае указываются два итератора. Опции определяют стиль и дополнительные элементы графических рисунков и позволяют добиться максимальной информативности и выразительности.

Следующие 20 опций являются общими для всех семи графических функций, рисующих двумерные объекты:



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [ 22 ] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86]

0.0009