в то же время

[-1, 1] X [2, 1] - [-1, 1] X [1, 0] = [-2, 2] - [-1, 1] = [-3, 3]. Можно показать, что имеет место соотношение /ix (/2 ±/з)С/,х/2± Дх/з.

Для иллюстрации данного явления приведем пример решения интервального уравнения, описывающего распределение температуры в цилиндрическом силовом резисторе. Пусть заданы его длина 2L, сечение S, периметр Сгеплопроводность представляется в виде интервала X G ] коэффициент теплоотдачи с поверхности резистора а G 1а~ й] , удельная проводимость резистивного материала о 1д = - [а, а]. На торцах РЭ температура равна температуре окружающей среды Гс G /с = {Тс, Тс\. Удельная мощность, вьщеляющаяся в единице длины РЭ, W G Д, = [vv, w]. Данная постановка задачи характерна для анализа тепловых режимов резисторов в условиях неопределенности.

Распределение температуры в РЭ описьшается уравнением

- А(Т{х) -Tc)--w

(2.22)

с краевыми условиями T(-L)=Tc; T(L)=Tc; Ле /д= [XS, XS]; Л G = [аС, аС];

(2.23)

здесь / - ток, протекающий через резистор.

Для фиксированных коэффициентов в (2.22) решение имеет вид

А ch{zz,)

(2.24)

где Z = yfXfK.

Можно показать, что температура в (2.24) изотопна (монотонно возрастает) по Г. и w и антитонна (монотонно убывает) по Л и Л. Это позволяет получить точные границы решения Т{х) :

Т(х) G

W ch

wch

(2.25) -

Пример. Пусть L = 0,01м; 5 = 1,963-10" м; С =0,0157 м; w = [40,0, 60,0] Вт/м; А = [0,25 , 0.35] Вт/(мК); Л= [1,710 2,010-5] втм/К; Тс = = [290, 310] К

Решение:

Ij,= [404,3 - 61,84 ch(l,225 -), 550- 130,78 ch(l,216--) .

Распределение температуры в РЭ изображено на рис. 2.10, а.

Представим (2.24) в виде 7(х) = Гс + Ti - Тг (х). Очевидно, что Т{х) = Jc + + Xi - 72 (), а Йл-) = Гс + Ti - J2 (X). В свою очередь Ji =yv/А; Ti =w/A. Кроме того, Т2 (х) = 7"! ch(zx)/ch(zz,). Все сомножители в выражении для (х) положительные, гиперболический косинус монотонно возрастает, откуда имеем

ch(zx) - ch(zx)

liix) =Ti(x)--; 72() = 72

ch(zL) ch(zi)

Подставляя численные значения для предыдущего примера, получаем

Ij,= [404,3- 134,75 ch (1,434-), 550 - 51,78 ch (1,18 -)].

L/ L

Соответственно 7(0) - [337, 524,1], 7(1) = [105,23, 457,9], т.е. границы, полученные с помощью интервальной арифметики, значительно грубее, чем полученные по (2.25) (рис. 2.10, а), кроме того, граничные условия не выполняются.

Таким образом, для получения точных интервалов решения задачи необходимо исследование зависимости поспеднего от параметров. В связи с этим встает вопрос о том, для каких классов задач верхняя и нижняя границы совпадают с решениями и каким образом можно получить указанные точные границьь

Введем ряд определений. Пусть множество U состоит из элементов а, Ь, ..., ш и задано отношение >, а число элементов в Ucard (If) =N[f.

На и введем множество всех его подмножеств 2 и множество всех интервалов вида [а] = [а, а]. Пусть подмножество { м } G 2* и его нижняя inf (м } и верхняя 5ир{м} грани также принадлежат множеству U- Оптимальным интервальным расширением bitO называется интервал [14]

IntO{M} = [inf{M}, sup{M}]. (2.26)

Пусть также задано семейство операторов \Q\, осуществляющих отображение из С/в £/, и уравнений

Qu=r; и, геи. (2.27)

0,4 , 0,6 0,8 x/ZL

Рис. 2.10. Интервальные расширения:

a - интервальное распределение температуры в цилиндрическом резисторе; б - соотношение между множеством решений {"], оптимальным интервальным расширением IntO{«} и расширением, полученным с помощью интервальной арифметики [и]; 7 - границы оптимального интервального расширения не достигаются на решении задачи; 2 - границы оптимального интервального расширения достигаются на решении задачи

Будем рассматривать множество операторных уравнений {Q]u=r.

Множества решений (2.27) можно представить как

{й} ---{ MGC/; Qu=r- QG{Q}, rG {г}}.

В общем случае множество решений не удается описать достаточно простым способом и

{м} С Into {м } .

Интервальное расширение [м], построенное с помощью интервальной арифметики [13], дает, как бьшо показано вьине, достаточно пессимистическую оценку для множества {и}- Имеет место упорядочение по включению

{м } С Into {м} С [м].

Соотношение между множествами { й} и IntO{M} проиллюстрировано на рис. 2.10, 6. Попытаемся вьщелить класс задач, для которых inf {м}, sup{M ] G { м}, т.е. границы оптимального интервального расширения достигаются на решении задачи Qu=r, что в свою очередь соответствует случаю 2 на рис. 2.10, б.