Рассмотрим вопрос об оптимальном интервальном расширении век-тор-функции. Достаточные условия существования оптимального интервального расширения приведены в теореме.

Теорема 2.1. Пусть g (х) - вектор-функция размерности т векторного аргумента х изотопна на множестве неременных с индексами г G {/ }и антитонна на множестве {J}, причем {/} U { У} = { 1, 2, ...

т\. Оптимальное интервальное расширение IntOg = [g, g] достигается наg =g (х) иg =g (х"), где

ДГ,, / G { /}, / е {/},

Xf, i G [J]; Xi, i G{y}.

Доказательство. Попытаемся определить g. Без ограничения общности пусть Xi G {/}. Тогда g(Xi,X2, х) < g (Xi, х-, ..., х„) для любых допустимых Ху,Х2, ...,х„. Пусть Х2 G { у }, тогда вследствие антитонности g по Х2 имеем

g(,, Х2,...,Х„)< g(Xi, Х2,..., х„).

Продолжая этот процесс, придаем конкретные значения переменным

Xi,X2, . . ,Xfj.

Пусть существуют Xj и индекс / так, что

gl (X*, х,..., х,..., X*) < gi {х*, х,..., х,..., X*),

здесь X* - точки, выбранные по вышеприведенному алгоритму. Дня определенности функция изотопна по к-му аргументу, но тогда

gl (X*, xt,..., Х,,..., X*)<gi ixt, X2,...,Xj,..., X*) ~

=glix*, X*.....xl...,x*).

Полученное противоречие доказывает теорему. Построение нижней границы производится аналогично. Пусть теперь U - линейное пространство и Z) ~ область определения оператора Q, осуществляющего отображение D -> и, содержится в С/. В свою очередь оператор Q представим в виде Q = S - Z, где S - линейный оператор, отображающий D в U, а Z: и-иявляется элементом множества операторов { z }.

Теорема 2.2. Пусть в { г ] определены элементы г, г такие, что для любых г G [г] имеет место 1 <» <У- Кроме того, пусть для Z, Z, Z Е G {Z} и любого V ED вьшолняется Zv KZv <Zv. Предполагается, что операторы Q = S-Z и Q = S-Z инверсно изотонны, т.е. для любых Mi,M2 GDh3<2"i <Qu2 следуетм, <М2.

Тогда решением уравнения Qu =7 является наибольшее решение и, уравнения = г - наименьшее решением, а для оптимального интервального расширения имеет место inf { м =м; sup {и} =м.

Доказательство. Решение уравнения Qu=r, равное м, принадлежит \и\ по условию теоремы. Пусть для произвольных QEl {(2} > г G { г } и является решением Qu =г. Тогда

5м = Zm + г < Zm + г .

В свою очередь? =Qu=Su -Zu. Подставляя это в предыдушее неравенство, получаем

su- Zu < scr~ Zu,

или Qu < QU.

Из инверсной изотонности оператора Q следует м > м, что и заканчивает доказательство для верхней границы интервального расширения. Доказательство неравенства и и аналогично. Существенно, что в условиях доказанной теоремы для построения оптимального интер-вапьного расширения семейства операторных уравнений {(2j {"} = ={;•} достаточно решить всего два уравнения

Qu = г; Qu =г.

В частности, если С/" представляет собой конечномерное линейное пространство R размерности п, то {Q] - множество квадратных матриц порядка п. Неравенства и вкпючения понимаются покомпонентно. Предполагается, что решение системы Qu=r существует и единственно. Далее в теореме 2.3 без доказательства приводится достаточное условие существования оптимального интервального расширения решения системы линейных уравнений [14].

Теорема 2.3. Пусть матрицы Q и Q инверсно положительны, т.е. и Q" > О, Q~ > 0. Тогда при нижеперечисленных ограничениях на вектор правых, частей г можно построить оптимальное интервальное расширение Into {и}, так что границами его явпяются решения системы линейных уравнений Qu=r и inf {u}=u, sup{u}=ir.

Условия, налагаемые на правую часть:

а) {г} >0: Into {и} = [u(Q, г), u(Q,r)];

б) { г } <0: Into {U] = [u(Q, г), u(Q,r)]; В) {г}ЭО: IntO{u} = [u(Q,r), u(Q,-r)].

Инверсно положительными являются, в частности, Л/-матрицы. Говорят, что матрица Q обладает Л/-свойством, если ее диагональные элементы положительны, а недиагональные - отрицательны, кроме того, диагональные элементы каждой строки превышают абсолютное значение суммы недиагональных элементов.

Для интервальной матрицы [Q] = [Q, Q], обладающей /-свойством, интервальный метод Гаусса дает результат, совпадающий с оптималь-

ным интервальным расширением IntO{u}, т.е., иными словами, в данном случае интервальный метод Гаусса оптимален.

Существуют алгоритмы решения систем интервальных линейных уравнений с невырожденным семейством матриц путем решения конечной совокупности систем линейных уравнений с граничными матрицами, элементы которых принимают предельные (нижние или верхние) значения [15].

Рассмотрим множество решений {и} задачи Коши для системы дифференциальных уравнений

"=f(r, u(r)). u(0) = Uo,

где u, f- вектор-функции размерности n;

u(r)e С [О, ГггшхУ, uoe i?".

Назовем функцию f (г, u) квазиизотонной, если все ее компонен-ты/j изотонны относительно компонент вектора и.

Теорема 2.4. [14]. Пусть щ е [уо, Uq] , а / е [f, f], / - квазиизо-тонна. Тогда, если существуют решения систем

= 1 (г, и), U = Но;

du - - -

- = f (г, u), u= Uo,

TO lntO{u} = [u, й].

Приведенные вьпне результаты позволяют в значительной степени снизить вычислительную сложность перечисленных интервальных задач. Возможно их распространение и на нечеткие задачи.

Действительно, если начальные условия и коэффициенты системы обыкновенных дифференциальных уравнений заданы в виде нечетких множеств

Jjll = 5(г, U); Г (О, и(0)) = 5(Uo). d г

то указанная задача приводится к - интервальным задачам, где О < jUi < jUj < jui = 1. Для каждой из интервальных задач в условиях предыдущей теоремы достаточно решить две системы дифференциальных уравнений для каждого уровня:

= 1(г, и,-(г)), и,(0) =и,о;

d dT