а функция, обратная преобразованию Кирхгофа, имеет вид

Внутренние краевые условия на границе дующей форме:

(2.38) преобразуются к сле-

(а )-

Сопротивление РЭ силового резистора при наличии идеальных контактов

(2.39)

где и - напряжение, приложенное к силовому резистору; ds - элемент площади. Интегрирование в (2.39) вьтолняется по площади одного из контактов.

Перейдем к рассмотрению распределения поля вблизи неидеального контакта. Неидеальность контакта приводит к возникновению тонкого слоя с весьма высоким сопротивлением на границе контакта и РЭ-Обозначим удельное сопротивление единицы площади указанного переходного слоя через Rj. Наличие его связано с оксидными пленками, возникающими при нанесении металлических контактов, а также о6-рьшом цепочечных структур резистивного композиционного материала на границе контакта. Для керметных композиционных резисторов R лежит в диапазоне от 10" до 10" Ом-м, для композиционных материалов на основе бетэла 10"* - 10" Омм.

Принимая поверхность самого контакта эквипотенциальной, находящейся под потенциалом U/, вьщелим на контакте бесконечно малый элемент площади ds, потенциал РЭ под ним можно считать постоянным и равным и. Тогда ток, втекающий в РЭ через элемент площади ds, можно записать в виде

Rl\u-u)ds.

(2.40)

Внутри резистивного материала ток, проходящий через поверхность S2 (рис. 2.16, б), равен:

di =- J 1"- ds.

(2.41)

Устремляя S2 О и приравнивая (2.40) и (2.41), получаем краевые условия на границе неидеального контакта

(2.42)

Энергая электрического поля в резистивном элементе. Возможна и другая - вариационная формулировка задачи о расчете распределения потенциала в РЭ. Энергия злектрического поля в нем

Э= mm (J-{ aVM(x)} 2х+ j --111 dx } , (2.43)

где первый интеграл берется по объему РЭ, второй - по всем контактам.

Пусть и* соответствует минимуму функционала (2.43). Дадим и* приращение 8и. Тогда линейная часть приращения функционала Э

6Э=2 J а(и*, X) u*V8udx + 2J (и*~ uj )8и dx. (2.44)

Г).

Воспользуемся второй формулой Грина для преобразования первого интеграла в (2.44)

63=-2J [Vo(u*,x)vii]8u dx + V

+ 2 J

8 и dx. (2.45)

Необходимым условием минимума функщюнала Э является 8Э(8и) =0, а так как приращение б и произвольно, то необходимо выполнение (2-31) и (2.42). Таким образом, функция (2.45) минимизируется на решении краевой задачи (2.31) и (2.42). Заметим, что при минимизации функционала Э необходимо принимать во внимание краевые условия вида (2.42), а условия на непроводящей границе выполняются автоматически.

Пусть один иэ контактов силового резистора имеет потенщ1ал щ, а второй , тогда его сопротивление

R=3-{u,-u,y. (2.46)

Заметим, что минимизация функционала (2.43) позволяет получить оценку сверху для энергии электрического поля в РЭ и оценку I снизу для сопротивления.

Формально разложим потенциал в окрестности минимума функционала Э:

и(х) = и*(х) + 8и(х)+ ~8и(х),

в то же время сопротивление резистора и энергия электрического поля в нем могут быть записаны в виде R =R* - 0,58R и Э =Э*+ 0,5бЭ вследствие того, что необходимым условием минимума функционала

i 55

является условие 5Э = 0. Из этого следует, что погрешность в определении потенциала первого порядка малости дает погрешность второго порядка при определении энергии и сопротивления силового резистора. Таким образом, для оценки сопротивления с заданной точностью точность в определении потенциала может быть гораздо ниже. В частности, приращение сопротивления при вариации потенциала имеет вид

" - i d{o(x)[Vu(x)V}dx.

в частности, включение объема бК с электрической проводимостью о + ба приведет к вариации сопротивления РЭ, равному :

=----ба(х [VM(x*)]dF.

Дня РЭ с равномерным полем указанная формула упростится:

R о V

где V- объем РЭ.

Непосредственное определение сопротивления РЭ. Дня строгого определения сопротивлений РЭ силовых резисторов необходимо либо решать краевую задачу (2.31), (2.33), либо минимизировать функционал (2.43). Однако в ряде случаев сопротивление можно вычислить непосредственным интегрированием (рис. 2.17, а), при зтом предполагается, что линии тока прямолинейны и равномерно распределены в РЭ:

R = J а-(х) -- , (2.47)

где S - сечение; Н - длина РЭ.

Очевидно, что указанное допущение вьшолняется при условии

Я {S (Н) ~S ф)) < I. в противном случае искривление

линий тока приводит к значительным ошибкам при расчете по (2.47) [16]. Приведем формулы для расчета сопротивлений РЭ непроволочных резисторов простейших конфигураций. Для РЭ объемного типа (рис. 2.17, б)

здесь D - диаметр РЭ. 56