или максимизации сопротивления

R = max (и niU+ Пз и)", (2.49)

где U - вектор, элементами которого служат потенциалы в вершинах конечных элементов; Hi, Пг - разреженные матрицы.

Необходимым условием минимума функционала Э является

4= 2niu + Пг =0. (2.50)

Распределение потенциалов в РЭ может быть осуществлено решением симметричной разреженной системы линейных уравнений [17]

2П1 U =-П2-

Метод конечных элементов хорошо приспособлен для расчета электрического поля внутри РЗ, при этом задание конфигураций РЭ не представляет сложностей.

Для силовых резисторов необходимо, во-первых, определить напряженность электрического поля в проводящей среде внутри РЭ и напряженность электростатического поля вне РЭ, так как одним из основных факторов, ограничивающих работоспособность силовых резисторов, является электрический пробой по поверхности РЭ [26], Во-вторых, для силовых резисторов характерно, что проводимость внутри РЭ либо не зависит от пространственных координат, либо РЭ можно разбить на ограниченное число элементов с постоянной по координатам проводимостью.

Перечисленные факторы делают целесообразным использование метода граничных элементов для расчета электрического поля в РЭ силовых резисторов.

Потенциал внутри РЭ можно представить в виде [27]

"(х) = J p(f)"o (Г, х)ЙГ(П, (2.51)

здесь р (f) - плотность тока простого слоя источников тока на границе РЭ; Mo(f. х) - функция Грина, принимающая в трехмерном случае вид

«о (f, х) = 1/г, ,

а двухмерном «о (f, х) = In (г),

где г = f Е (х,- - f i)). и - размерность пространства; f - коорди-1=1

ната точки на границе; х - координата точки внутри РЭ. 60

Интегрирование в (2.51) ведется по границе РЭ. Напряженность электрического поля определяется дифференцированием (2.51)

где Э"о/Эх,-(х) означает, что дифференцирование функции двух пере-, менныхмо (Ь х) осуществляется пох,-й координате в точке х.

Дая существования производной необходимо, чтобы плотность тока простого слоя удовлетворяла условию Гельдера

lp(?i) - P(f2)l< Ara„ r,)«,

. где i4, a - произвольные положительные постоянные.

I Выражения (2.51) и (2.52) могут бьпь использованы для расчета поля в диэлектрике, вне РЭ, npi этом плотность тока простого слоя заменяется на плотность заряда простого слоя.

Сведем задачу расчета электрического поля РЭ к интегральному уравнению относительно р (f, х), при этом на границах, где задан потенциал щ, имеет место равенство

ЧОО = / P(f)"o(f, х)с?Г(П. Г

на непроводящих границах Э "о (f. X)

Jp(f) --г(П = о,

Г Э"(X)

* при неидеальных контактах вьшолняется условие (2.42)

Ч = J Р(П г

«o(f.x)+ /?fca(x) 3"

9" (X)

dnn- (2.53)

Уравнения (2.51), (2.52) являются интегральными уравнениями Фредгольма первого рода, так как неизвестная функция находится только под знаком интеграла. Заметим, что функция Грина щ (f, х) имеет сингулярность на границе РЭ в точке Uq (х, х) вида 1/г для трехмерного случая и 1п{г) для двухмерного. Решение интегральных уравнений первого рода может оказаться весьма сложной задачей [28], однако наличие сингулярности в ядре уравнения приводит к саморегу-

ляризации задачи, корректная конечно-разностная аппроксимация задачи приводит к системе линейных уравнений, обладающих свойством диагонального преобладания, что в свою очередь делает матрицу системы линейных уравнений хорошо обусловленной. Заметим, что использование метода граничных элементов позволяет на единицу понизить размерность решаемой задачи.

Поясним использование метода граничных элементов на примере решения задачи об определении максимальной напряженности электрического поля в непроволочном силовом резисторе.

Электрический пробой непроволочного силового резистора, возникая в местах с максимальной напряженностью электрического поля, приводит к катастрофическому откгзу последнего. Для РЭ, изображенного на рис. 2.18, а, условия отсутствия электрического пробоя можно записать в виде

£-,(х) /=1,2,3,

где Ej (х) - напряженность электрического поля соответственно в ре зистивном материале (/ = 1), в изоляции резистивного элемента (/ = = 2), в воздухе (/ =3); £доп/ - предельно допустимая напряженность электрического поля в /-й среде.

Рассматриваемую задачу можно разбить на две подзадачи, а именно: расчет напряженности поля в проводящей среде РЭ и диэлектрической среде, окружающей резистор. Резистивный элемент силового непроволочного резистора (рис. 2.18, а) состоит из галет, выполненных из бетэла [26]. Часть торцевых поверхностей галет покрыта слоем металлизации. На поверхность резисторов нанесен слой диэлектрика. Металлизация не может доходить до края РЭ из-за опасности попадания расплавленного металла на боковую поверхность РЭ, что в свою очередь приводит к стягиванию линий тока к контакту и росту напряженности электрического поля в зазоре между галетами.

Распределение потенциала в резисторе описывается уравнением

V(a(w)V"(x)) =0 с краевыми условиями (рис. 2.18, б)

"Ipi "1г2 + t

и 2

= О,

где и - напряжение, приложенное к галете (из соображений симметрии достаточно рассматривать только половину резистивной галеты).

В целях снижения напряженности электрического поля часть границы Гз вьшолняется закругленной или со скосом. Вьшолнив преобразования Кирхгофа, выпишем выражения для потенциала и составляющих напряженности электрического поля в РЭ: