рис. 2.18. К расчету максимальной напряженности электрического поля непроволочного галетного силового резистора:

а - РЭ; б - контактный узел; / - резистивный материал; 2 - контакт; 3 -изоляция РЗ; в - разбиение границы РЭ на граничные элементы; г - геометрия граничного элемента

u(x) =i>il p(f)«o(f. х)с?Г(П); г

Эх,- (x)

(2.54)

(2.55)

где \[/ - функция, обратная зависимости электрической проводимости от потенциала, так что \[/(а(и(х))) =и(х). №тегральное уравнение для определения р(х) имеет вид

Хз(х) = J р(Г) Г

+ (Г)

X,(r)Uo(f, x)-h

Э« (x)

rfr(f).

(2.56)

Xi (?)

X2(f)

1 на Ti;

0 на Гг иГз; О на Г,;

= < на Гг;

1 на Гз;

Хз(?)= <

(ф{0) на Тг, ф{и12) на Гз; Ю на Гз-

Воспользуемся аксиальной симметрией задачи и снизим ее размерность до двух, для чего перейдем к цилиндрическим координатам

Xl =лсо8в; Х2 = rsinO; Х3 = z.

Интеграл от первого члена в квадратных скобках уравнения (2.56) можно переписать в виде

/i(x)= J

(2.57)

Интегрирование в (2.56) ведется на поверхности РЭ, а (2.57) пред ставляет собой криволинейный интеграл; К (к) - эллиптический интеграл первого рода, модуль которого равен:

где A-jj, л , zj- - цилиндрические координаты точек х и f.

При стремлении точки f к х мотуль эллиптического интеграла стремится к единице, а сам он может быть представлен в виде

К{к) = 1 In

т.е. ядро /1 (х) имеет логарифмическую сингулярность.

Для вычисления второго интеграла в квадратных скобках необходимо вычислить производные ядра по ruz. Обозначим ядро через

гК(к)

и после несложных алгебраических преобразований вычислим ЪЗ/Ъг и Э5/Эг [29]:

dS .

VCf - ix- f) [Cx--f)- (x- f)]

При стремлении f к x производные dS/dr и dS/dz имеют также логарифмические особенности.

Для численного решения задачи (2.56) граница РЭ разбивается на ряд граничных элементов М (рис. 2.18, в). Число граничных элементов определяется точностью решения поставленной задачи. Рассмотрим криволинейный граничный элемент, изображенный на рис. 2.18, г. функцию р можно выразить в векторной форме с помощью однородной координаты rj в виде [27]

р(?) = («1, ct2, аз)

/Р1\

V Рз/

где надстрочный индекс t означает транспонирование

ai -0,5j?(j?-1); = 0,5ч(?+1); «3= (1 -»?)(1 + j?)-

В свою очередь координаты границы /-го граничного элемента можно записать в виде

,(Л) = а(г1)

I \

22/ ; rf(rj)=a(n) г21 VlJ \"з

Интеграл по /-му граничному элементу

Iji4) = Pj J «(»?) Jg(?) С (»?) +

Э5 Эг

95 95

9г 9»?

9Z 9»?

(2.58)

где G= y/{dr/dv) + (9z/9j?)/ = 1,2,..., л/; а: = 1,2,..., л/.

Вычисление интегралов осуществляется с помощью квадратур Гаусса

2 / = 1

(2.59)

В (2.59) под Z (»?) понимается подьштегральная функция в выражении (2.58). В частности, если х не лежит на данном конечном элементе и и = 3, то координаты узлов интегрирования и значение весов будут те, что приведены в табл. 2.1.

5-6319