Заметим, что в отличие от симметричной матрицы G матрица d несимметрична.

Рассмотрим решение (2.68) при малых временах т. Формально разложим решение задачи по малому параметру т

Т(т) = Т" + тТ + тТ

Подставляя разложение в уравнение (2.68), группируя члены с одинаковыми степенями т и считая Wj (т) = const, получаем

( Т°=То;

* Ti =W2; (2.69)

i +1) .т + » =GiT, / = 1,2... Используя (2.69), получаем

Т(т) = То + -W2 + -GiW2 + .. . - g- W2. (2.70)

1! 2! к\

Ограничиваясь двумя первыми членами разложения (2.70), имеем адиабатическое приближение для расчета тепловых режимов силовых резисторов при приложении коротких импульсов, когда можно пренебречь рассеиванием тепловой энергии в окружающую среду. J Будем вначале полагать, что матрица тепловых проводимостей Gi и вектор W2 не зависят от температуры и времени, тогда тепловой режим в резисторе может быть описан уравнением

= GiT(T) +W3. Т(0) = То, (2.71)

где W3 = W2 - G7 Тс = С" W, + С" GTc-

Будем искать решение линейной системы дифференциальных уравнений (2.71) в виде

Т(т) = еа +Ь, (2.72)

Gl Т

здесь е - матричная экспонента, представимая в виде

л = 1

а, b - неизвестные векторы, подлежащие определению; Е - единичная матрица.

Непосредственной подстановкой (2.72) в (2.71) можно установить

T(7) = e(To+GTw3)-GTiw3. (2-73)

Выражая d, Wj через матрицы теплоемкостей и тепловых проводимостей элементов конструкции силового резистора, получаем

T{T) = e\To-Tc-G-iwO + Tc+ Q-wi. (2.74)

Из (2.74) непосредственно следует, что при т, стремящемся к бесконечности, распределение температуры близко к установившемуся тепловому режиму Т(°°) =Тс + G~ wi.

Матричную экспоненту в (2.73) и (2-74) можно представить в виде

е = S. diag{e)Sl, (2-75)

где Ai - вектор собственных значений матрицы Gi; Si - матрица, составленная из собственных векторов Gi.

Использование (2.74) для расчета тепловых режимов целесообразно при кусочно-постоянной зависимости прикладываемой к силовому резистору мощности от времени и слабой зависимости теплоемкостей и тепловых проводимостей элементов конструкции от температуры. В противном случае необходимо использование численных методов решения системы дифференциальных уравнений [33]. Достоинством методов, использующих матричную экспоненту (2.75), является сравнительная простота анализа тепловых режимов для "жестких" систем дифференциальных уравнений, т.е. в том случае, когда постоянные времени отдельных элементов конструкции на несколько порядков отличаются друг от друга.

Ддя расчета тепловых режимов рассмотренным методом необходимо определять собственные векторы и собственные значения несимметричной матрицы Gi =-(rG, где С" - диагональная, а G - симметричная матрицы. Для сведения задачи к проблеме собственных значений для симметричной матрицы введем в рассмотрение матрицу D = = C-»/GC-/

Непосредственной проверкой можно установить, что D симметрична и может быть представлена в виде

D = Sdiag(A)s, (2.76)

где S, А - матрица собственных векторов и вектор собственных значений D.

В свою очередь матрицу G можно выразить через Вкак

=-c-iG=-C-/2 (С-/2 GC-/2)C/ =-С-/2 DCi/ Выражая матрицу D через (2.76), имеем Gi =-C-/2sdiag (Л)sc/.

Получаем Si = С~ S. Используя ортогональность собственных векторов матрицы D и учитывая, что S = S", получаем представление собственных векторов матрицы d через собственные векторы D:

Si =C~S;

sV = (C-/2sr = s-c/2 = sc»/2.

Из сравнения (2.76) и (2.75) следует, что Ai =-А. Таким образом, для решения задачи (2.71) можно выразить через матрицы теплоемкос-тей С и тепловых проводимостей G в виде

Т(г) = Si diag (Al т) SI 1 (То - Тс ~ СVi) +

+ Тс+ G""wi. (2.77)

В тех случая, когда необходим учет нелинейностей, а также при малых вариациях теплофизических характеристик скорректируем решение задачи (2.71) следующим образом. Пусть в точках т,- и т,-, матрицы теплоемкостей и тепловых проводимостей связаны соотношениями

ОГ = ol + 5Gi + о (II5GII);

С=С + бС+о(115С11); wl"" = w + 5wi +0 (HSwi II). В этих условиях имеет место товдество

(Gi+6Gi)t gCiTg. +o(ll6Gill). (2.78)

Подставляя (2.78) в (2.74), получаем

Т(т) + 5Т(т) = е (Е + 5Git) (То - Тс - G; w +

+ 6GiW, -G;6wi)+ (Тс+ G7wi -SGiWi + G76wi).

Удерживая только линейные по вариациям члены, получаем линейную часть вариации решения задачи (2.71)

бТ(т) = е{ 6Gi wi -G,6wi +

+ т5С(То- Тс - GTwi)} + GT5w, - 5GiWi. (2.79)

На основе (2.77) и (2.79) можно предложить следующий алгоритм расчета переходных тепловых режимов силовых резисторов для постоянной мощности, прикладываемой к резистору.

1. Рассчитываем установившийся тепловой режим Т(«>) =Тс + G~wi, определяем среднюю температуру злементов конструкции в переход-