вого режима. Ниже будет показано, что этот выбор существенно влияет на результаты оптимизащ1и.

Рассмотрим критерии качества теплового режима. Вначале разберем установившийся режим. Пусть задано желаемое температурное распределение в изделии Тз (х), где х - вектор пространственных координат. Тогда качество теплового режима может быть охарактеризовано функционалом

Jiq) = S Qix)FiT,T3)dx, (2.80)

где Т(х, q) - распределение температуры в изделии; Q - весовая функция; q - вектор конструктивных параметров размерности М; F{T, Тз)- дифференцируемая положительная функция.

Интегрирование в (2.80) ведется по всему объему конструкции.

В переходном режиме критерий качества теплового режима имеет вид

Ji4,rmax)= S S Qr(r)Qix)F(T, WdxdT, (2.81)

где Tf„ax ~ длительность переходного процесса; <2т ~ весовая функция по времени.

, Иногда оптимизация осуществляется по нескольким критериям, например, когда к изделию предъявляются требования работы как в , установившемся, так и в переходном режимах или к изделию предъявляется ряд противоречивых требований.

Весовые функции в (2.80) и (2.81) показьшают, насколько важна для разработчика температура данного элемента конструкции в данный момент времени. При решении практических задач удобно пользо-> ваться выражением Q(x) = Т~„(х). Весовая функция по времени определяется требуемым характером переходного процесса. Когда для разработчика важны значения температуры только в определенные моменты времени, можно представить в виде

Q(T)= Е 6(т-тр, /=1

где 6 - дельта-функция; Nj - число разбиений интервала времени.

Задача оптимального теплового проектирования состоит в минимизации функционалов (2.80) и (2.81).

Обозначим скалярное произведение векторов а, b размерности N/,

1 Nk

<а. b> = Е fl/fe, ;

=1 87

и скалярное произведение векторов с,d на временном интервале [О, Тщах]»

(С, d>= Е Cfdf. /=1

Тогда в дискретном случае при использовании электротепловых схем замещения критерии качества (2.80) и (2.81) можно переписать в виде

/(q) =<QF(T, Тз), 1х>; (2-82)

(q. г) = <Qr(Qf (Т,Тз), 1)х, 1>, (2.83)

где 1х, - единичные векторы размерности Лд: и TVj. соответственно, где Nj - число разбиений интервала времени [О, Tniax\ •

Основная трудность решения задачи оптимизации тепловых режимов состоит в необходимости вычисления для каждого значения критерия / распределения температуры в конструкции. Поэтому целесообразно извлекать максимальную информацию из каждого решения уравнения (2.61) или (2.63). Используем для этого градиент функционала качества теплового режима. Проделаем выкладки вначале для установившегося режима. Линейная часть вариации критерия качества при варьировании вектора конструктивных параметров q имеет вид

Эр (Т, Тз)

6/(q)=<Q -- , 6T(q)>;,. (2.84)

В свою очередь уравнение для линейной части вариации температуры в изделии

ВбТ = G6T+ - бТ =-6wi -бОТ. (2.85)

Введем в рассмотрение уравнение

bu=-Q-, (2.86)

где индекс t означает транспонирование. Подставляя (2.86) в (2.84), получаем

6/(q)=-<Bu, 6T(q)>.

Непосредственной проверкой можно установить, что 6/(q)=-<U, B6T(q)>.

Отсюда подстановкой (2.85) получаем окончательное выражение для линейной части вариации критерия качества теплового режима в резисторе

6У = (U, 6wi + 6GT>. (2.87)

Существенно, что приращение критерия качества выражается через вариации матрицы тепловых проводимостей 6G и мощностей 5wi. Иными словами, с помощью (2.87) можно вычислить линейную часть вариации критерия качества теплового режима для любой малой вариации вектора конструктивных параметров q. При этом необходимо решить две задачи

G(T-Te) = Wi; Bu =-Q

Если функционал (2.82) линеен по распределению температур в изделии и .можно пренебречь зависимостью теплофизических параметров элементов конструкции от температуры, то (2.86) не зависит от распределения температуры в изделии и решать уравнение (2.86) при оптимизации конструкции достаточно всего один раз.

Для переходного режима выражение для линейной части вариации функционала теплового режима имеет вид

dJ =-<u(0), 6То>;с+ <1т. (5GT+ 8v/)x)j, (2.88)

где 5 То - вариация начального условия,

l!L=Bu+Qf (2.89)

Эт ЭТ

с конечным условием

"(X, Ттах) = 0. (2.90)

Как и ранее, вариация функционала качества теплового режима выражена через известные вариации матрицы проводимости 5G и мощности 5р, а также решение сопряженного уравнения (2.89). При решении многокритериальных задач оптимизации введение каждого дополнительного критерия увеличивает число решаемых па каждой итерации дифференциальных уравнений на единицу. Заметим, что До сих пор не предполагалось никакой явной параметризации теплофизических параметров конструкции и ее конфигурации, что позволяет легко конструировать интерактивные процедуры оптимизации. В этом случае варьирование конфигурации и теплофизических параметров осуществляется интерактивно во взаимодействии с разработчиком.