fax I

Рис. 2.8. Индуктивная интерполяция параметров проектируемого изделия

Д)1я использования ИИ на начальных стадаях проектирования разумно наложить на результаты алгоритма ряд ограничений:

описания прототипов должны быть точно восстанавливаемыми алгоритмом интерполяции, т.е. применение ИИ к Прг должно не изменять описания первого прототипа в пространстве выходных параметров;

трудоемкость алгоритма должна умеренно расти при увеличении размерности пространства параметров;

алгоритм должен работать при малом объеме базы интерполяции, в том числе при icard { Пр }= 1;

алгоритм должен учитывать "удаленность" интерполянта от элементов базы интерполяцш в пространтстве входных параметров, так, что чем ближе интерполянт к данному элементу базы, тем больше он "похож" на него.

В [3] проанализированы существующие методы предсказания значений параметров для четкого описания и предложен алгоритм многомерной-линейной интерполяции. В приложении к рис. 2.8 это означает.

что объект проектирования описывается в пространствах входных и выходных параметров синглтонами (точками со степенью принадлежности, равными 1). Обозначим через число элементов в базе интерполяции. Представим значения интерполируемого параметра во входном и в выходном пространствах в виде

р*х=й1Пр„х1+ 2 й/с (ПРвх/с -Првх1);

к =2

Рвых = 1 ПРвых! + /с (ПРвых/с -ПрвыхО-

к =2

(2.16)

Линейные модели (2.16) на подпространствах входных и выходных параметров строят, исходя из двух соображений, во-первых, коэффициенты а/ определяются из условия близости Рдх к выпуклой линейной оболош<е, построенной на базе интерполяции, для чего необходимо

дБ1Ъа- =0, fc= 1, 2,..., Nb, (2.17)

где Б = Ирвх -- Рвх "г > во-вторых, принимается, что Ь/ =а. ,к = \,2,...

Таким образом, алгоритм восстановления функции заключается в следующем: конструируется линейная форма (2.16), далее рещаетея система линейных уравнений (2.17); значение выходного параметра определяется из формулы для выходного параметра в (2.16), причем коэффициенты берутся из рещения системы (2.17).

Отметим, что рассмотренный алгоритм непосредственно неприменим к нечетким описаниям объекта проектирования, кроме того, его трудоемкость пропорциональна из-за необходимости решать систему линейных уравнений размерности N, наконец, в нем не учитывается достоверность информации об элементах базы интерполяции.

Рассмотрим один из вариантов метода индуктивной интерполяции, применяемой к нечетким данным (рис. 2.8). Зафиксируем выходной параметр т и индексы входных параметров, от которых зависит т-й выходной параметр!/вхт }, соответствующее подпространство входных параметров обозначим через П.вх"- Предположим, что каждой точке р; G Пвхт степенью принадлежности/ij, (р/), принадлежащей /-му элементу базы, соответствует множество точек { Рвых/} £ СУвых,п/(/вх) Увых,п/ - уровневое множество для выходного параметра т, соответствующее степени принадлежности ц. Возможны два крайних случая, когда каждой точке элемента базы интерполяции во входном подпространстве соответствует одна точка в выходном подпространстве и когда одной точке входного подпространства соответствует все уровневое множество Увыхт/- Уровневое множество

интерполяции в выходном пространстве Удыхи/ соответствующее степени принадлежности Агх будем искать в виде

=1 РвхУвх/Фвх) Рвх Увх(Авх)

Рвых

2 2 2 x

=1 РвхеУвх/ (Мвх) Р*вхеУвх(Мвх)

(Рвх Рх) Рвых/ *(Рвх- РЁх)

(2.18)

где рвх - точка, принадлежащая базе интерполяции; p*j - точка, принадлежащая интерполякту; Ув/. Увх уровневые множества /-го элемента базы и интерполянта во входном пространстве. Весовой множитель w мояшо определить как

(Рвх/- Рвх) =

= /w (llPsxZ - Рвх»> Мвх(Рвх/). M(PSx) <fl)- (2-19)

Функция убывает от расстояния между точками базы и интерполянта и возрастает по степеням принадлежности Мвх(Рвх/) ДдхСРвх) степени доверия к i-му элементу базы интерполяции с/;.

Имеют место ограничения на функцию :

/w (О, *, *, *) = Wmax > 1;

/w (*. О, *, *) = 0;

/w (*. *. О, *) = 0;

fy, (*, *, *, 0) = 0.

(2.20)

Звездочки в (2.20) означают, что соответствующая переменная может принимать любые значения. Величина w,, выбирается из соображений восстановпения элементов базы алгоритмом ИИ. Отметим, что с помощью (2.18) восстанавливается не отдельная точка интерполянта в выходном пространстве, а уровневое множество, т.е. вычисления по (2.18) должны быть вьшолнены для всех точек, принадлежащих декартову произведению уровневых множеств элементов базы, что в свою очередь приводит к тому, что трудоемкость алгоритма пропорциональна М1М2 • • где Ml число разбиений носителя 1-го измерения входного подпространства.

Предположение о том, что отдельные параметры во входном и выходном пространствах параметров не взаимодействуют друг с другом