они перпендикулярны направлению распространения. Теперь найдем решения для случая направленного распространения волны в волокне для случая радиально-симметричного закона изменения (г) в нем. Установлено, что в данном случае волны не могут быть чисто поперечными, т. е. волнами типа ТЕМ, а всегда имеют осевую составляющую вектора Е или Н. Из-за наличия радиальной симметрии решения удобно записать в системе цилиндрических полярных координат в следующем виде:

Е = Е (г, ф) ехр [- / (Ш - р г)1, (5.1.2)

Н=Н(г, ф) ехр [-/(0) -рг)1,

где, как и ранее, <а = 2 л/ - угловая частота, ар - постоянная распространения. Поскольку как электрический, так и магнитный векторы имеют одинаковую функциональную зависимость, воспользуемся следующим обозначением:

1з = гр (г, ф) ехр [- / (Ш - р2)1, (5.1,3)

гдегр обозначает локальное значение либо электрического поля Е, либо магнитного поля Н. Накладываемое волокном граничное условие предписывается законом изменения диэлектрической проницаемости ео (г) или показателя преломления п (г) = Т/е (г). Решения также подчиняются требованиям, чтобы поля были конечными на оси волокна и обращались в нуль на бесконечности. Другими словами, (О, ф) оо, 15 (оо, ф) = 0. Эти условия обусловливают решения в собственных значениях для 15 (г, ф), каждое из которых имеет конкретное значение р. Это приводит к дискретным картинам распространяющихся в волокне электромагнитных волн, которые называются модами.

Оба типа волокна, которые рассматривались до сих пор, а именно ступенчатые и градиентные волокна, способствуют распространению в них многих мод. На самом деле в волокне типичных размеров могут распространяться много сотен мод. Такие волокна являются примерами многомодовых волокон. В некоторой степени различные моды можно ассоциировать с различными траекториями лучей. Поскольку постоянная распространения изменяется от моды к моде, каждая из мод распространяется со своими собственными значениями фазовой и групповой скоростей. Таким образом, свойство волокна, которое до снх пор называли многолучевой дисперсией, по-видимому, лучше называть межмодовой дисперсией. В литературе этот термин сокращенно называется модовой дисперсией.

Модовая теория не только обеспечивает более ясное физическое понимание характеристик распространения света в волокне, но дает возможность изучать распространение света в волокнах с серцевиной очень малого диаметра, позволяет вычислить распределение мощности в волокне и обнаружить дополнительный источник временной дисперсии. Дополнительная дисперсия возникает из-за того, что скорость распространения любой конкретной моды зависит от частоты, независи-

МО от имеющейся материальной дисперсии. Этот эффект известен как внутримодовая дисперсия, которую чаще называют волноводной дисперсией. Хотя она обычно мала по сравнению с материальной дисперсией, однако, как будет показано в § 5.5, она может оказать влияние на смещение минимума дисперсии в сторону более длинных волн.

$.2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛНОВОДНЫХ МОД В ИДЕАЛЬНОМ СТУПЕНЧАТОМ ВОЛОКНЕ

Здесь будем рассматривать волокно, состоящее из однородной сердцевины радиусом а из материала с показателем преломления п, и бесконечно толстой оболочки из материала с показателем преломления «2-

Решения уравнений (5.1.1) должны удовлетворять только разрыву функции ег (г) в точке г а и принимают вид хорошо известных функций, а именно, функций Бесселя J (х) в области сердцевины и функций Ганкеля К (х) в пределах оболочки Аксиальные составляющие поля в оболочке (г < а) определяются выражением

4>г %Jh (« f) cos kip, (5.2.1)

где - постоянное электрическое или магнитное поле; k - целое число; и - параметр, связанный с еще не определенной нами постоянной распространения р световодной волны следующим соотношением:

2 ip J p2p2 p2 5 22)

Отметим, что

Pj - 2nnjy\. = rii (л/с

- постоянная распространения плоских поперечных электромагнитных волн (ТЕМ) в материале сердцевины волокна.

Осевые составляющие поля в оболочке (г > а) определяются формулой

tz = 2 Kh (wr) cos fetp, (5.2.3)

где - постоянное электрическое или магнитное поле; k - целое число; W - параметр, связанный с р соотношением

= Р-(-Т) = Р-Р- (5.2.4)

Здесь

р2 = 2nnJ% = щ(л1с

Решение волнового уравнения Максвелла в цилиндрических координата} произведено в Приложении 1, § П. 1.2. Происхождение и свойства функций Бесселя и Ганкеля известны многим читателям. Эти функции хорошо изучены табулированы и описаны, например, в гл. 9 книги М. Abramowitz and I. А. Ste gun. Handbook of Mathematical Functions (Dover, 1965).

- постоянная распространения для плоских поперечных электромагнитных волн (ТЕМ) в материале оболочки. При больших значениях г, таких, что при

/Ch (е>г) = ехр {-wf)l{wrYl.

Это означает, что поля в оболочке затухают экспоненциально на больших радиальных расстояниях от сердцевины. Это те самые поля, которые раньше мы называли затухающей волной.

До сих пор рассматривались решения только для аксиальных составляющих Е и Н. Поперечные составляющие могут быть найдены с помощью следующих соотношений:

-

Яф =

L L

Цг Но О) дНг

г дг

дг в дН

8г 8о to

г Йф

Z дЕг

(5.2.5)

где Л* = (2лп/)2-Р* и п(г) Vi.tAr).

Картины распределения электромагнитного гюля для различных мод имеют некоторое сходство с теми, которые получаются в круглых металлических волноводах, имея в виду менее резкие граничные условия на поверхности сердцевина - оболочка. В то время как на границе металл - воздух электрическое поле, параллельное ее поверхности, должно быть пренебрежимо мало (обе составляющие Е н Ец, обращаются в нуль), в волокне радиальные поля испытывают лишь небольшой разрыв на поверхности, разделяющей сердцевину и оболочку, причем тангенциальные составляющие поля (fj, £ф, Hz, Нц) должны быть здесь непрерывны. Требование удовлетворить этим граничным условиям означает, что для каждого значения k в выражениях (5.2.1) и (5.2.3) существует только определенный дискретный набор значений UHW. Обозначим из ит и hm- Кзк и k индекс т означает целое число. Отсюда следует, что и постоянная распространения Р также принимает лишь дискретные значения, определяемые выражением

(5.2.6)

Рассмотрим сначала решения уравнений (5.2.1) и (5.2.3) прн fe = 0. Они имеют вид: в сердцевине

(5.2.7)