Рис. 6.2. Область, ограниченная радиусами ri и Г2, внутри которой существуют рещения для световодных волн:

а - графики зависимости величии

и [(«2-V4) -H-p2 от г, иа которых отмечена область, ограниченная л, и Гз, в пределах которой

(О» п{г)

принимает действительные значения; б -графическое представление осциллирующих решений для свеюводных полей в промежутке между /-1 и Г2 н затухающих полей вне его

эти долустимые значения р через т- Здесь целое число k - это номер азимутальной моды, а целое число т характеризует число полупериодов величины между Л и г- В Приложени1 2 показано, что

exp[/jAdr .

Следовательно, каждый полупериод функции соответствует условию J/Cdr = л, а значение m приближенно определяется из следую-

(П.2.14)

щего уравнения:

0)2 я" (г)

(6.1.14)

Решение уравнения (6.1.14) относительно P(,m в областях допустимых значений целых чисел к, т приводит к постоянным мод распространения, зависящим от частоты ы. Времена распространения мод

t,m-=ldkJd< (2.2.40)

могут быть найдены путем дифференцирования уравнения (6.1, Таким образом, получаем

Г dK

dr=0.

Дифференцирование уравнения (6.1.12) дает

2ап djan) „„ dfi„

da da

Сделав затем подстановку N = d (mn)/d(o = n + «(dn/da).

находим

Г dK

dr =

da r,

Следовательно,

anN Kc

dr-Jl5l=L-dr = 0.

? dr a r

К dw

14) no (0. (6.1.15)

(6.1.16) (2.2.27)

(6.1.17)

J (nNlK)dr

(cVa) pft„J {\IK)dr

Введя обозначение n = nS[l-2A/(r)K,

можно записать

• т о , dn о , w d In)

da 2 d{o

a при условии, что / (г) не зависит от м,

(6.1.18)

(6.1.7)

пЛ = I - 2 А/ (г)] + (ОП 4 11 -f 2А/ (г)1 - con? f (г)

d(D db)

l-2A/(r)-A/(r)-- Ле А do)

= n„iV„[l-2A(I-b6)/(nl.

(6.1.19)

g Лд О)

О) dA

2/Vo А d(o

(6.1.20)

представляет собой дисперсионный параметр волокна, который аналогичен введенному в выражении (5.4.9), но не совсем тот же смый. В таком случае формула (6.1.18) принимает вид

2Д(1+б) J {f(r)/K)dr

j 0/K)dr

(6.1.21)

В принципе формула (6.1.21) позволяет вычислить значения времен распространения мод по известным значениям п, N, б, А и /(г). Очевидно, что это было бы нелегкой работой. Поэтому попытаемся найти более простые и более точные выражения для и dhm/dai, а также а-профилей, используя другие аргументы.

6.1.3. Число мод распространения

Снова возвращаясь к выражению (6.1.14), можно видеть, что т принимает наибольшие значения при k=0 (в предположении, что =0) и когда Р имеет наименьшее возможное значение. Наибольшее значение k также достигается при минимальном р, но нигде = 0. Поскольку третий член в выражении для К стремится к бесконечности при г = О, нахождение Штах встречает определенные трудности. Однако значения kmax, а следовательно, и общее число мод распространения М можно определить более простым путем.

Значения Р должны лежать между значением постоянной распространения для плоских волн ТЕМ в оболочке Рс и значением постоянной распространения для плоских волн ТЕМ в материале на оси волокна Ро, т. е.

Ро = (о)По/с) > р > (ionjc) == Рс. (6.1.22)

Чтобы определить значение kmax, примем р = р и /С* = О, а 1/4 пренебрежем по сравнению с kfmx- Тогда

(6.1.23)

Общее число мод распространения М можно найти, просуммировав значения т, определяемые формулой (6.1.14) прн р = Рс, при всех возможных значениях k. Если значение kmax большое, что обычно имеет место в типичном многомодовом градиентном волокне, суммирование можно заменить интегрированием по k, а величину k-MA можно опять аппроксимировать Jfe*. Каждая из мод, описываемых данной парой значений (k, т), представляет собой четыре вырожденные