в предыдущем параграфе было показано, что межмодовая дисперсия определяется слагаемым, характеризующим материальную дисперсию и одинаковым для всех мод, а также рядом других слагаемых, определяющих волноводную дисперсию, и изменяющихся от моды к моде. Перечисленные слагаемые, как и выражение (6.4.6), содержат параметр . Не зависящее от мод слагаемое доминирует над всеми другими за исключением, может быть, случая близости к минимуму материальной дисперсии, поэтому для упрощения выкладок оставим только его. В выражении (6.4.6) виутримодовая дисперсия была представлена в виде длительности импульса на полувысоте х,, создаваемого каждой модовой группой q, зависящей от пшрины спектральной линии излучения Асо, определяемой по тому же критерию (ширина на полувысоте). Для решения задачи данного параграфа удобнее использовать среднеквадратическую длительность импульса Oj, которую можно непосредственно выразить через среднеквадратическую ширину спектральной линии излучения Ощ. Таким образом, если ограничиться только одним первым слагаемым, выражение (6.4.6) упрощается по (2.4.12).

а., =

2 п

= -iKIVa. (6.5.1)

Теперь необходимо определить о, - среднеквадратическую длительность импульса, являющегося результатом межмодовой дисперсии, когда величина Ощ очень мала. Для этого необходимо использовать результаты § 6.3, где исследовался общий разброс по времени распространения различных мод. Чтобы найти о,, нужно оценить соотношение (2.4.3) в предположении, что введенная в волокно в виде импульса единичной энергии оптическая мощность распределена равномерно между распространяющимися в нем модами. В таком случае принимаемая мощность будет поступать в виде последовательности взвешенных импульсов по мере того, как модовые группы будут прибывать после соответствующего времени распространения. Каждая из Q модовых групп опознается по параметру модовой группы q и состоит из 2q независимых мод. Таким образом, энергия, поступающая во время ig с модовой группой q, пропорциональна индексу q. Общее число отдельных мод будет равно

Л1==. 2 2(, = Q(Q-f 1)«Q (6.5.2)

,= 0

Поскольку мы используем результаты анализа, полученные в приближении Венцеля - Крамерса - Бриллюэна, необходимо предположить, что Q велико и результаты могут быть неточными для мод самых низких и самых высоких порядков, т. е. когда q мало и когда оно приближается к Q. При равномерном распределении энергии единичного импульса между модами энергия каждой из мод будет равна 1/Q, а энергия каждой модовой группы составит 2q/Q.

Исследуем распределение времени распространения для модовой группы при некоторых типичных значениях параметра а, характеризующего закон изменения показателя преломления. На этой основе можно получить импульсную характеристику волокна, а следовательно, и найти значение а,. Наш анализ будет основываться на выражении

(а -2-46) д / \2а/(а-Ь2)

(За-2-86) (а + 2)

4a/(ct

t-

(6.3.19)

Более удобно представить эти времена распространения в нормализованном виде относительно времени распространения моды самого низкого порядка = Nllc. Момент времени можно также использовать в качестве начала координат при отсчете времени прихода других мод. Таким образом, нормализованное время распространения Г, будет определяться следующим образом:

(а-2-46)

N,1 (За-2-

-1--86)

(а 1-2)

дг / q у а/(а 4-

q 2а/(о[+ 2)

/4 =

В ==

(а-2-46) А (а~}-2) Q2a/(a4-2)

(За-2 -86) Д 2 (а + 2) Q-»(x/(a +-2)

(6.5.,3)

(6.5.4)

(6.5.5)

Итак, вре.менн6й интервал между импульсами определяется значением производной dTg/dq, и поэтому скорость поступления модовых групп будет равна l/{dTg/dq). Средняя мощность, принимаемая в любой момент времени Т, будет равна

поскольку каждая модовая группа переносит энергию 2q/Q. Полученное выражение представляет собой сглаженную импульсную характеристику волокна. Оно описывает отклик на выходе волокна, когда приемник действует как фильтр низких частот, неспособный различить отдельные импульсы, появляющиеся в момент прихода отдельных модовых групп.

Общее выражение для ст, (а) можно получить, подставив (6.5.6) и (6.5.3) в (2.4.3)

что приводит к q

TP (Т) dt

(6.5.7)

(y.Jrp(r)d,-[erPir)d,

\ Ло / • dq J dq

г <?

(6.5.8)

Если теперь подставить значение Т, определяемое (6.5.3), то после ряда простых преобразований

A.Vo/

(а-2 -4б)2а2

4 (а г 1) (а ;-2) (За -2)

(« - 2-46) (За -2-86) а Д 2 (а 1) (а 1-2) (2а \ I) (За ;-2)

(За -2 -86)2а2 Д2 (а-; 2) (За ; 2)2 (5а !-2)

(6.5.9)

Вместо того, чтобы слепо подставить в полученное выражер не значения а, исследуем сначала импульсные характеристики волокна, получаемые в некоторых специфических случаях, а затем иа их основе найдем значения ст,.

Рассмотрим сначала ступенчатое волокно, у которого а = оо. В этом случае только первое слагаемое в (6.5.3) будет существенным и можно написать

r,---A(/VQ. (6.5.10)

Следовательно, мощность принимается в течение промежутка времени Tq - Tq = а. Это нормализованное время, которому соответствует интервал реального времени, равный (АЛ„ с). В течение этого временного отрезка средняя принимаемая мощность постоянна. Воспать-зовавшись формулой (6.5.6), находим, что

P{T)=={2qlQ)l{2AqlQ)--~. 1/А. (6.5.11)

На рис. 6.7, а показаны распределение Г, и сглаженная импульсная характеристика ступенчатого волокна npHQ = 20. В §2.4 было показано, что среднеквадратическая длительность импульса прямоугольной формы составляет 1/2Уз часть от его длительности [см. формулу (2.4.13)1. Следовательно, среднеквадратическая длительность нормали-