Главная  Методы условной оптимизации 

[0] [1] [2] [3] [4] [ 5 ] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83]

матрицы Л со столбцами {а,} на вектор с компонентами {а,}, г. е.

является линейной комбинацией векторов

0( =

(поскольку as=3a,+4aj), т. е. Ов линейно зависим от {oi, Oj}.

Линейную зависимость можно определить и по-другому - как свойство набора векторов. Соответствующее определение звучит

так: векторы {а,, Са.....а, at + , ) линейно зависимы, если нуль

представим в виде их нетривиальной линейной комбинации. Так, например, векторы (2.11) линейно зависимы, поскольку 30i-t-4o2- -Оз=0.

Схожими определениями описывается и обратная к рассмот-ренвой ситуация. Если вектор Oj+i не может быть представлен в виде линейной комбинации векторов набора {а, Oj, . . ., о,,}, то говорят, что Qft+i линейно независим от {oi, а, . . ., о}. Аналогично система векторов {о,, .....Oj, aj+i} называется линейно независимой, если любая их нетривиальная линейная комбн-

Таким образом, любое произведение матрицы и вектора есть линейная комбинация столбцов матрицы с коэффициентами, равными компонентам вектора.

Линейную комбинацию с нулевыми коэффициентами принято называть тривиачьной, а если хотя бы один из коэффициентов в линейной комбинации отлнчен от нуля, ее называют нетривиальной.

2.2.2.2. Линейная зависимость и независимость. Пусть {Oi.Oj, . . ., о,,} - некоторый набор векторов и вектор a,,+i можно представить в виде их линейной комбинации с некоторыми коэффициентами. Тогда говорят, что 0+, линейно зависим от векторов {а,, "г, .... Ой }. Так, например, вектор

(2.11а)

(2. lib)

нацня отлнчна от нуля. К примеру, вектор

иепредставим линейной комбинацией с, и йо, в силу чего система [а,, Оа, с*} оказывается линейно независимой.

Если столбцы некоторой матрицы Л линейно независимы, то говорят, что А имеет гюлный сто.1бцовый ранг; матрица А имеет полный строковый ранг, если линейно независимы ее строки. Заметим, что при линейной независимости столбцов Л из равенства Лл:=0 с необходимостью следует, что а:=0, поскольку нетривиальная линейная комбинация независимых столбцов не может быть нулевой.

2.2.2.3. Векторные пространства; подпространства, базис. Возьмем из множества всевозможных векторов размерности п какой-нибудь вектор X. Для .тюбого числа а вектор ах также будет принадлежать этому множеству; ему будет принадлежать и .чюбая сумма вида хЛ-у, где у - еще один п-мерный вектор. Следова-те-тьно, множество всех п-мерных векторов замкнуто относительно операций суммирования и умножения на скаляр, а потому и относительно операции построения линейных комбинаций. Множества, обладающие данными свойствами, называют линейными пространствами. Таким образом, множество всех п-мерных векторов является линейным векторным пространством. Его принято обозначать через Ы" (нли £").

Имея некоторый набор, содержащий к векторов из SR", скажем {oi, Qj, . . ., а,,], рассмотрим множество £ всех векторов, представнмых лннейнымн комбинациями от {а,, а,, . . ., а,, ] Через Л обозначим матрицу, чей 1-й столбец равен й. Тогда вектор Ь будет принадлежать множеству С (этот факт принято офажать записью ЬС), если Ь=Ах для некоторого -мерного вектора х.

Нетрудно проверить, что любая линейная комбинация векторов из множества £ также является его элементом. Чтобы убедиться в Этом, заметим, что из вк-тючения 6 6 С следуег, что

аЬ=аАх-Аах, (2.12)

т. е. abg£. Далее, если bgC и сб£ ф=Дх и с=Ау), то

b+c=Ax-hAy=A{x+y) (2.13)

(использовано свойство дистрибутнвностн матричного умножения). Значит, сумма (Ь--с) - тоже вектор из £. Ну, а коль скоро множество S замкнуто относительно операций суммирования и умножения на скаляр, оно будет замкнутым и относительно операции линейного комбинирования. Таким образом, £ представляет собой линейное подпространство пространства Sft".



Подпространство всевозможных лниейных комбинаций векторов {qj, О2, . . ., О),} принято называть натянутым на них. Когда эти векторы интерпретируются как столбцы некоторой матрицы А, это пространство называют также столб1ошм пространством А. Про векторы, принадлежащие подпространству, часто говорят, что они лежат в нем.

Для каждого нетривиального подпространства Ё определено положительное целое число г, именуемое его рангом или размерностью. Это минимальное число векторов, которых достаточно, чтобы сгенерировать 8. Понятно, что соответствующие векторы должны составлять линейно независимую систему, и эту систему принято называть базисом подпространства £. В действитель-иостн базисом fe-мериого подпространства будут любые k лежащих в нем линейно независимых векторов. Таким образом, базис определяется неоднозначно. Проиллюстрируем этот факт на примере двумерного подпростраиства, натянутого на векторы

. = ( 2

(2.14)

Они линейно независимы и потому сами образуют базис. При этом подпространство представляет собой совокупность всевозможных векторов вида

/а\ Ь = ( Р .

где а, р - произвольные числа, и ясно, что его можно рассматривать как множество линейных комбинаций от

Соответственно эти векторы также являются базисом.

Пусть векторы {а,, а, . . ., Сь) образуют базис подпространства £. Тогда любой вектор из У представим в" виде их линейной комбинации единственным образом. Чтобы доказать это, допустим, что некий вектор b можно представить двумя линейными комбинациями от [Oi):

fc=a,a,-t-a,a,-f-. . .-fаьаь=Р,о,Н-PsO.-h. . --ЬРьОь.

Это равенство эквивалентно следующему:

(о,-Р,)о,-- (а.-Р.)а.+ . . .-(- (afi-Pft)o»=0. (2.15)

Последнее же в силу линейной независимости векторов {о;) может выполняться, только еслн ctiP, для всех i. Значит, коэффициенты разложения по базису действительно определены однозначно.

Некоторые вычисления значительно упрощаюгся, когда векторы базиса взаимно ортогональны. В частности, ортогональность базиса существенно обчегчает расчет коэффициентов разложения по нему произвольного вектора £» из Ё. В самом деле, еслн

Ь=аах-\-аг-\-. . .-fatCft,

aJb=a,aTa,+ala-h. . .-bakala=a,aTa,,

потому что все слагаемые справа, за исключением одного, оказываются нулями в силу ортогональности. Так как а; есть вектор иэ базиса, он не может быть равным нулю. Соответственно не равно нулю скалярное произведение а[о, и нз последнего равенства мы находим, что коэффициент а, равен offc/afaj.

В рассмотренном ранее примере (2.14) векторы fli, Cg взаимно ортогональны. Поэтому коэффициенты разложения вектора

по as, Ог определяются формулами

3-f-3 ,

и, действительно.

0 1-1

2.2.2.4. Нуль-пространство. Для любого подпространства й из Sft" определено его дополнение С в Это - множество таких векторов у, для каждого нз которых ху=0 при любом х из S, т. е. векторов, ортогональных всем х из £. Множество £ является подпространством, поскольку определяющее его свойство ортогональности ие нарушается операцией построения линейных комбинаций. Подпространство £ называют ортогональным дополнением £ в SR". У двух подпространств й и С есть только одна общая точка - нуль. Если размерность £ равна к, его ортогональное Дополнение £ будет иметь размерность п - ft.

Любой вектор в может быть представлен линейной комби-Вацией векторов из й и £, т. е., объединив какие-нибудь базисы



этнх двух подпространств, мы тем самым получим базис в 91". Когда £ определяется как подпространство, натянутое на векторы {а,, Ог.....С),}, его ортогональное дополнение называют

также нуль-пространством системы {а,, Oj, . . ., Оь}.

Рассмотрим для примера подпространство £ с базисом {Oi, Oj} из (2.14). Тогда вектор

ортогональный Ci и а, будет лежать в £ (и будет базисом этого подпространства, так как размерность последнего равна единице).

2.2.3. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

2.2.3.1. Матрицы как преобразования. До снх пор мы рассматривали вещественные матрицы как двумерные наборы чисел либо как объединения столбцовых (нли строковых) векторов. Однако на матрицу можно смотреть и как на средство преобразования векторов - ведь, умножая некоторый вектор слева на матрицу, мы получаем в результате новый, в общем случае отличный от первого вектор. В этом контексте уместно говорить о применении матрицы к вектору. В дальнейшем мы не будем акцентировать внимание на том, что матрица есть не само преобразование, а лишь средство его формального представления, и будем отождествлять матрицы с преобразованиями.

Преобразование вектора матрицей является линейным. Это следует из рассмотренных ранее свойств матричного умножения. Для любой матрицы А н .любых векторов х, у м скаляров а, р справедливо равенство

А (txx+Pj/)= (ах)+А фу)=а (/1х)+р (Ау),

так что матричное преобразование линейной комбинации векторов как целого дает линейную комбинацию отдельно преобразованных векторов с теми же коэффициентами.

2.2.3.2. Свойства линейных преобразований. Имея матрицу (преобразование) Д, естественно задаться вопросом о том, существуют ли ненулевые векторы, которые А преобразует в нуль, т. е. можно ли найти такой ненулевой х, чтобы выполнялось равенство

Ах=0. (2.16)

Как уже говорилось выше, это возможно лишь в том с-чучае, когда столбцы матрицы А линейно зависимы. Квадратные матрицы с линейно зависимыми столбцами называют вырожденными; квадратные матрицы, стаибцы которых линейно незавксины, называют невырожденными.

Коль скоро некоторый ненулевой вектор х удовлетворяет равенству (2.16), для любого числа а получим

Alji-hax)=Ay-i-aAx=Ay, (2.17)

т. е. результаты преобразований суммы у-{-ах и одного вектора у матрицей А идентичны. Соответственно в данном случае невозможно определить по результату, какой вектор преобразовывался.

Предположим теперь, что равенство (2.16) возможно только при нулевом X. Тогда столбцы матрицы Л должны быть линейно независимыми, и при этом результаты преобразования разных векторов никогда не совпадут. Действительно, линейная независимость столбцов А служит гарантией того, что равенства АхАу и соответственно Ах - Ау=А (х - y)=G будут выполняться лишь прн х==у. Тем самым устанавливается правомерность «сокращения» на матрицу полного столбцового ранга уравнений (матричных или векторных), в которых эта матрица состоит левым множителем и в правой, н в левой частях.

2.2.3.3. Обратные матрицы. Рассмотрим преобразования некоторого вектора х невырожденной матрицей А в вектор Ь=Ах. Так как А иевырождена, х определен этим равенством однозначно, т. е. существует однозначная обратная к преобразованию А зависимость X от Ь. Можно показать, что эта зависимость также является матричным преобразованием. Соответствующую матрицу, которая переводит Ах в х, называют обратной к Л и обозначают через A~. Она единственна и иевырождена.

По опреде.чению матрица A~ при любых х обеспечивает равенство

А-1Ах)=х.

илн, что то же самое,

(Л-М - /)х=0.

В силу произвольности X отсюда следует, что должно быть А~А = 1 (здесь / - единичная матрица). Легко убедиться также, что если Л и В - невырожденные матрицы, то справедливо соотношение (АВ)-=В-А-\

Когда исходная невырожденная матрица обладает специальной структурой, обратная к ней также будет выглядеть специфичной. В частности, для ортонормальной матрицы Q выполняется равенство Q~=Q. Матрица, обратная к нижней (верхней) треугольной, также оказывается нижней (верхней) треугольной. Прн обращении невырожденной элементарной матрицы I--auv мы снова получим элементарную матрицу, причем с теми же двумя векторами: если auv-1, то

(I-\-auv)-=I-\-iiuv,

где р=-а/(1--ао»).



[0] [1] [2] [3] [4] [ 5 ] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83]

0.0008