Главная  Микрокалькулятор 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [ 10 ] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69]

Если бы мы поднимались в гору со скоростью 30 км/час, а спускались под гору со скоростью 90 км/час, то

=-j--j-= 45 км/ч.

Вот какой оказалась бы в действительности наша средняя скорость на участке шоссе с подъемом и спуском.

ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ

Итальянский математик Леонардо Фибоначчи (1180-1250) обнаружил замечательную числовую последовательность: ее первый член равен единице, затем идет еще одна единица, а каждый следующий член равен сумме двух предыдущих. Вот как выглядят несколько первых чисел:

1; 1; 2(=1 + 1); 3(=2+1); 5(=3 + 2); 8 (=5 + 3); 13 (=8+ 5) и т. д.

Насколько просто сформулировать закон образования последовательности Фибоначчи на словах, настолько сложно выглядит формула для общего члена последовательности. Действительно п-е число Фибоначчи Fn можно представить в виде

(1±У£у (1)-

Если мы захотим вычислять по этой формуле члены последовательности с большими номерами, то без микрокалькулятора нам просто не обойтись.

Результат вычислений необходимо округлять до целого числа. Невязка возникает из-за ошибок округления микрокалькулятора, происходящих главным образом при извлечении корня.



в разделе «Золотые сечевие» мы покажем, что корни квадратного уравнения для отношения длин двух отрезков, известного под названием «золотое

1 ± Vs

сечение», совпадают с числами q ~--.

Возможно, у читателя возникла смутная догадка о том, что числа Фибоначчи каким-то образом связаны с «математической эстетикой». Ваша догадка верна, дорогой читатель! Математики уже давно обнаружили, что отношение двух последовательных чисел Фибоначчи дает довольно хорошее приближение к величине золотого сечения. Это приближение тем лучше, чем больше номера двух последовательных чисел Фибоначчи.

В этом вы можете убедиться и сами:

8: 5 = 1,6; 13: 8= 1,625; 21 : 13= 1,61; 34:21 = 1,62 и т. д.

Биологам также приходится иметь дело с числами Фибоначчи. Например, ботаники установили, что угол между двумя соседними листами, расположенными вокруг стебля, постоянен для каждого вида растений. Чаше всего встречаются «углы диверген* ции», составляюшие следующие доли от 360°:

J 1 £ 3 5 8 2 3 5 • 8 13 21 И I"- Д-

Числители и знаменатели этих дробей представляют* собой не что иное, как числа Фибоначчи.

Аналогичные закономерности обнаружены также в строении пчелиных сот и паутины.

ИЗ ЛЮБВИ К %

Древние вавилоняне (жившие за несколько тысяч лет до н. э.) довольствовались тем, что заменяли важную геометрическую величину л (отношение длины окружности к ее диаметру) ее приближенным



значением, равным 3. Такое приближение отвечало потребностям строительного искусства и землемерия того времени.

В одном древнеегипетском папирусе для числа я приводится гораздо более точное приближение 3,1605. Около 1600 г. голландский математик Лудольф ван Цейлен вычислил 35 знаков числа л после запятой, в прошлом веке англичанин Уильям Шенкс затратил изрядную часть своей жизни на вычисление л с более чем семьюстами знаками.

Вполне понятно, что в последующие десятилетия не нашлось желающих проверить правильность вычислений Шенкса. В то же время возникло и стало все более крепнуть подозрение, что в выкладки Шенкса где-то вкралась ошибка. Дело в том, что теоретически все цифры от О до 9 должны встречаться в десятичном разложении числа п с одинаковой частотой. В разложении же, полученном Шенксом, цифра 7 встречалась реже, чем следовало из статистических соображений.

Лишь с появлением современных ЭВМ появилась возможность вновь вернуть число п к жизни ценой сравнительно скромных затрат. В 1961 г. ЭВМ понадобилось менее четырех с половиной часов, чтобы вычислить более 100 000 знаков числа п. В основу программы была положена формула Гаусса

я; = 48 arctg-1- + 32 arctg-1- - 20 arctg--,

а значения арктангенса вычислялись при помощи разложения в степенной ряд

avcigx=-x - ~ + ~+ ....

Оказалось, что Шенкс действительно допустил ошибку в 528-м знаке. Принятый им метод вычислений был таков, что и все последующие знаки оказались ошибочными.

Выяснилось также, что теория находится в полном согласии с практикой: все цифры в вычисленном отрезке десятичного разложения числа л встречались приблизительно с одной и той же частотой, то есть каждая цифра появлялась около 10 000 раз.

Естественно напрашивается вопрос, сколько знаков числа я необходимо знать для практических рас-



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [ 10 ] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69]

0.0014