Главная  Микрокалькулятор 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [ 11 ] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69]

четов. Если у вашего микрокалькулятора нет клави-, то придется загрузить вашу память. Дробь

***/ii3 дает приближение числа л с ошибкой меньше, че,м 3-10~. Если связный текст вы запомпнаете лучше, чем «голые» числа, то рекомендуем вам запомнить следующее «волшебное заклинание»:

Как я хочу я числа выражение ие забыть, Очень уж важно.

Вероятно, вы уже заметили, что поэтические достоинства этих строк не слишком велики. Тем не менее при всем своем несовершенстве школьный стишок дает 10 знаков числа л после запятой. Число букв в словах совпадает с цифрами десятичного разложения числа л:

3,1415926525.

Если вы сочтете достаточными девять знаков после запятой, то это будет означать, что разность между приближенным и истинным значением л меньше пяти десятимиллиардных, то есть Лл-<5-10"".

Проверим, как сказывается при вычислении такая ошибка в начальных данных на окончательном ответе. Возьмем окружность радиусом 1 км. (Для технических сооружений больших размеров прецизионные измерения не имеют смысла.) Длина нашей окружности равна f/= 2л/? = л•2-10 м, а максимальная ошибка при вычислении ее достигает величины

AU = 2. 103Ая = 2. 10-5- 10~"=10~% = 1 микрон.

Следовательно, зная л с ошибкой Ал<5-10~", мы найдем длину окружности диаметром ровно 2 км с точность до Viooo мм. Кому захочется проводить повторные измерения?

ЕМКОСТЬ ЕМКОСТИ

В 1616 г. астроном и математик Иоганн Кеплер опубликовал довольно объемистый трактат о стереометрии винных бочек. И хотя есть подозрение, что в



канун тридцатилетней войны основной интерес представлял рациональный выбор конструкции пороховой бочки, название кеплеровского труда «Новая стереометрия винных бочек» однозначно указывает на бочки с вином. Желая идти в ногу со временем, мы займемся определением вместимости пивных бочек. Формула

F-4-(So + 45, + S2),

где Н -высота. So - площадь нижнего днища. Si -• площадь срединного поперечного сечения, S2 - площадь верхнего днища (измеренные изнутри) позволяет вычислить объем бочкообразного тела с достаточно высокой точностью. Если принять, как это обычно бывает, что площади верхнего и нижнего днища равны, то есть что

nDl

Sq-2- ,

И что все поперечные сечения имеют форму круга, то после некоторых преобразований нашу приближенную формулу можно записать в виде

Предположим, что расстояние между днищами (измеренное изнутри бочки) равно 60 см, внутренний диаметр срединного сечения равен 50 см, а внутренние диаметры верхнего и нижнего днища составляют 40 см.

Объем нашей бочки равен

= 0,16-[1+21,252] = 0,1037 j3

Не будем спорить о том, будет ли ее емкость в действительности на несколько литров больше или меньше, поскольку формула, которой мы воспользовались, дает лишь первое приближение.

Она представляет собой частный случай предложенного Кеплером правила для вычисления емкости бочек;

Xa+9h

{ f (x)f/ ~ у(г/о + 4г/, + г/2).



в левой части этого приближенного равенства уже ничто не напоминает о емкости бочек: h означает величину шага (в рассматриваемом нами случае h = s=H/2). Для тех, кому не доводилось изучать в школе «высшую математику», скажем, что определенный интеграл

Xo+2h

\ f{x)dx

(читается: интеграл от xq до xq + 2h) означает площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой у = fx, снизу - отрезком оси х, заключенным


Рис, 5. Криволинейная трапеция. Ее площадь можно вычислить по формуле, предложенной Кеплером для вычисления емкости-винных бочек.

между Ха и jco + 2/г, слева - ординатой /(хо) и справа - ординатой / {ха + 2h) (рис. 5). Правая часть приближенного равенства показывает, что кривая у = - f(x) заменена дугой параболы, проходящей через точки (JCo, у а = f (хо)), (хо + ft, г/1 = / {хо + ft)) и (хо 1+2ft, г/2 == / (хо + 2ft)). Через три точки всегда можно провести параболу, причем только одну.

Предположим, что мы хотим найти площадь под кривой f {х) =-\/х-\-3 на отрезке оси л: от д: = О до л; = 4, то есть вычислить интеграл

J л/х + 3 dx.



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [ 11 ] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69]

0.0008