Главная  Микрокалькулятор 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [ 12 ] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69]

По формуле Кеплера

5у(Уо + 4г/, + У2).

где 2h = 4, то есть h = 2; уо = л/О 3 = л/З; г/, ==

==V4 + 3 = V7; «/2 = Vl6 + 3=Vl9- Следовательно, площадь интересующей нас криволинейной трапеции равна в единицах площади

sI (л/з" + 4 Vt" +V79) = 11,116.

Для сравнения приведем точное значение интеграла (или площади):

5 = 11,0788.

Ошибка составляет лишь 0,3 %.

В свою очередь формулу Кеплера можно рассматривать как частный случай общего метода приближенного вычисления определенных интегралов, разработанного английским математиком Томасом Сим-псоном (1710-1761).

Основная идея метода Симпсона состоит в разбиении произвольной криволинейной трапеции, площадь которой требуется вычислить, на сколь угодно большое число параболических трапеций, и в применении к каждой из них формулы Кеплера. Чем меньше шаг интегрирования, тем больше число параболических сегментов, заменяющих заданную функцию. Что позволяет усовершенствовать формулу для приближенного вычисления определенных интегралов следующим образом:

f (х) dx

З" (Уо + 4г/1 + 2г/2 + 4г/з + 2г/4 ----+ Уш-х + Уг-

Симметрия выражения, стоящего в скобках, не требует более подробных пояснений.

Воспользуемся новой формулой для вычисления интеграла



Интервал, по которому производится интегрирование, мы разобьем на 4 подынтервала. Следовательно, нам понадобится знать 5 значений подынтегральной функции. Это соответствует п = 2 и h=l, а формула Симпсона преобразуется к виду

S - {Уй + У1 + 2у2 + 4г/з + г/4).

При г/о = У0 + 3 = уз, г/1 = VI + 3 = 2, г/2 =

= У4 + 3 = У7, r/3 = V9 + 3 = Vl2 и г/4 = = Vl6+3 = Vl9 получаем:

S (-/3"+8 + 2 л/ + 4 V12" + л/19) =

= 11,079... 11,08.

Ошибка (разность между точным и приближенным значением интеграла) становится пренебрежимо малой.

А теперь, когда вы уже в состоянии, пользуясь своим микрокалькулятором, численно проинтегрировать любую функцию с заранее заданной точностью, обратимся снова к задаче о вычислении емкости бочек.

До сих пор речь шла об интегрировании кривых, или функций, заданных аналитически. По известному аналитическому выражению подынтегральной функции можно вычислить ее значения в точках Хо, Хо + /г, Хо + 2/г и т. д. Однако на практике во многих случаях значения подынтегральной функции приходится не вычислять, а находить из измерений, производимых «на натуре». Именно так обстоит дело и с определением емкости бочек: аналитическое выражение, задающее их форму, как правило, неизвестно.

Вы, должно быть, обратили внимание на то, что приведенная в начале этого раздела формула приближенного интегрирования

J f{x)dx- (г/о + 4г/1 + г/а)

переходит в правило Кеплера для вычисления объема винных бочек, если шаг интегрирования h заменить величиной Я/2, а значения подынтегральной функции fo, /1 и fa - площадями So, Si и S2 внутренних сечений бочки на уровне нижнего днища,



посредине и на уровне верхнего днища. Ясно, что, произведя аналогичные подстановки в формуле Симпсона, мы получим более точную формулу для вычисления объема. Для тех, кому это интересно, заметим, что объем корпуса судов в конструкторских бюро вычисляют по формуле Симпсона. Если довольствоваться разбиением бочки по высоте на 4 равные части, то h = Я/4 и

F - (So + 4Si + 2S2 + 45з + Sd,

где 5о - площадь внутренней части нижнего днища, S4 - площадь внутренней части верхнего днища, S2 - площадь сечения, проведенного посредине между днищами, а S и S3 - площади сечений, проведенных на расстоянии (/4)Я и {U)H от нижнего днища. Учитывая, что пивные бочки симметричны, получаем

So = 5 = -7-, 81 = 83= т-.

Это позволяет после несложных преобразований несколько упростить формулу для вычисления объема и привести ее к виду

V = {Dl + iD, + Dl).

Предположим, что, измерив Du мы получили 46 см: внутренний диаметр = наружный диаметр - 2-толщина стенок. Тогда

V - - (0,42 + 4 - 0,462 0,52) 0,0986 м = 98,6 л.

Это лучшее приближение как с точки зрения математика, так и с точки зрения любителей пива. За ваше здоровье!

РЕШАЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Показав в предыдущем разделе, как (не зная так называемой высшей математики) вычислять площади криволинейных трапеций, мы можем теперь на-



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [ 12 ] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69]

0.0008