Главная  Микрокалькулятор 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [ 17 ] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69]

(обращаем внимание читателя на различие между и S„: fl„ =224-, а 5„ = 224- 1), или

= 16 777 216 ~ 1 = 16 777 215.

Итак, владелец лошади должен выплатить кузнецу 167 772,15 марки. Продолжив столбцы цифр, приведенные в начале раздела, вы увидите, что эта сумма лишь на 1 меньше удвоенной цены последнего Гвоздя.

Спросим себя, на сколько гвоздей удастся подковать лошадь при таких расценках, прежде чем будет исчерпана сумма в 50 марок? Напомним, что эта сумма была другой ценой, назначенной кузнецом. Воспользуемся формулой суммы членов геометрической прогрессии:

5 = 5000 = 2-1.

Слагаемое 1 можно отбросить, поскольку оно лишь несущественно изменяет результат. Чтобы найти к, обе части получившегося уравнения необходимо прологарифмировать, однако гораздо приятнее «угадать» ответ - найти его методом проб и ошибок. Известно, что

2о= 1024 « 1000.

Это - стандартное значение, от которого мы будем «танцевать» дальше. Следовательно,

2" 2000,

22 4000

(точная сумма составляет 4096 пфеннигов, или 40,96 марок).

Логарифмируя уравнение

5001 =2

Получаем:

12,288 ....

Следовательно, за 50 марок лошадь можно подковать на 12 гвоздей, то есть каждую подкову прикрепить 3 гвоздями.

Некоторые читатели знают другой вариант той же истории - с зернами пшеницы или риса. Изобретатель шахмат потребовал от индийского раджи вознаграж-



дение в размере одного зерна за первое поле шахматной доски, двух зерен за второе поле и так далее (за каждое следующее поле раджа должен был уплатить вдвое больше зерен, чем за предыдущее). Как известно, на шахматной доске всего 64 поля, поэтому число зерен ае4, составляющих плату за шестьдесят четвертое поле, и полное число зерен 5б4 - числа поистине гигантские: чтобы выплатить вознаграждение изобретателю шахмат, понадобилось бы

5б4=Ь~=у-=2«- 1 1,84. 1019

зерен. Лишь за шестьдесят четвертое поле ему причиталось бы

зерен. Урожая пшеницы, собранного во всем мире, не хватило бы, чтобы набрать столько зерен. Если массу одного зерна пшеницы принять равной 0,05 г, то масса 1,84-10 зерен составит 1,84-Ю.0,05 = == 920 ООО ООО ООО т (в то время, как урожай пшеницы во всем мире за один год составляет лишь около 250 ООО ООО т).

Различие в скорости роста арифметической прогрессии

S„ = -(ai + a„) и геометрической прогрессии

играет определенную роль и в мировоззрении. Около 1800 г. английский ученый Мальтус опубликовал работу, в которой утверждал, что продуктивность земледелия возрастает в арифметической прогрессии, в то время как численность народонаселения увеличивается в геометрической прогрессии. Отсюда Мальтус делал вывод: либо неизбежно наступит голод, либо человечество должно ограничить рождаемость. С опровержением выдвинутого Мальтусом тезиса выступил Карл Маркс. По мнению Маркса, люди смогут достаточно быстро увеличить производство основных продуктов питания, если сумеют надлежащим образом перестроить политические и экономические отношения.



Этот пример отчетливо показывает, что математика с ее формулами считает вслепую. Решающее значение имеют исходные посылки и допущения, в соответствии с которыми мы выбираем начальные значения, составляем уравнения и интерпретируем конечный результат. Сколь важно наше отношение к происходящему, показывают две фразы:

«У меня осталось всего 50 марок»;

«У меня осталось еще 50 марок».

С точки зрения математики они эквивалентны. Но сколь различен их смысл!

ВНИМАНИЮ МЕТАЛЛУРГОВ

Чтобы читать этот раздел, не обязательно быть металлургом - достаточно лишь проделать вместе с нами все вычисления.

Рассмотрим две марки стали:

Ст. 20: Fe; 0,2 % С, 0,3 % Si, 0,5 % Мп, 0,3 % Р, 0,03 % S.

Высокоуглеродистая сталь: Fe, 1,0 % С, 0,3 % Si, 0,5 % Мп, 0,3 % Р, 0,03 % S.

По своему химическому составу эти стали отличаются друг от друга лишь содержанием углерода: в Ст. 20 его 0,2 7о, в высокоуглеродистой стали - 1,0 %. Всего каких-нибудь 0,8 %, а свойства этих сталей весьма различны. Ст. 20 хорошо сваривается, не поддается закалке и обладает высокой жесткостью. Высокоуглеродистая сталь плохо сваривается, при закалке в воду становится хрупкой как стекло и обладает весьма ограниченной жесткостью.

Химический состав обеих марок стали совпадает на 99,2 %. Каким образом ничтожная добавка в 0,8 % углерода может приводить к столь разительному расхождению в свойствах?

Состав веществ принято указывать в весовых процентах. Однако природа не располагает весами, а потому прибегает к «подсчету» атомов, вмещаемых в определенном объеме вещества. Попробуем при помощи нашего микрокалькулятора воспроизвести «расчеты», которыми занимается природа.



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [ 17 ] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69]

0.0008