Главная  Микрокалькулятор 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [ 21 ] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69]

Значения атомных масс различных элементов колеблются от 1 для водорода до 238 для урана. В своих расчетах мы будем исходить из средней атомной массы, равной 100, то есть будем предполагать, что 100 г земного вещества содержат 6,02-10" атомов. Тогда в б-Ю г массы Земли мы насчитаем

6,02 • 103. i 6 . 109 атомов.

Кто не верит, может пересчитать их по одному. Если за каждую секунду он будет пересчитывать по 10 атомов, то за год он успеет пересчитать

60-60 •25-365- 10 = 315 360 000 = 3,15- 10 атомов.

В большинстве микрокалькуляторов среднего класса большие числа можно представить в виде степеней числа 10. Именно так принято записывать величины в научной литературе.

Зная, сколько атомов успеет пересчитать недоверчивый читатель за год, можно оценить время, которое уйдет у него на всю проверку:

3,6. 10«:3,15- 10=« 11,4. 100 лет.

За столь безнадежное предприятие не стоит и приниматься. Может быть, сроки проверки удастся существенно сократить, если в ней примет участие все население земного шара, насчитывающее в настоящее время около 5 млрд. человек? Прикинем:

11,4- 100:5 • W20- W° лет.

Итак, недоверчивому читателю не остается ничего другого, как поверить в правильность полученного нами результата и отказаться от его проверки.

КАК ВОЗНИКАЕТ ОШИБКА ОКРУГЛЕНИЯ?

Всякий, кому доводилось пользоваться логарифмической линейкой, или кто не расстался с ней и поныне, знает, что она позволяет получать результат с



точностью до 1 %, но обычно это никого не беспокоит.

Как всегда бывает при «рождении» нового устройства, с появлением микрокалькуляторов на них стали возлагать большие надежды. Утверждалось, что микрокалькулятор «гораздо точнее» всех прежних вычислительных устройств, во всяком случае гораздо точнее, чем логарифмическая линейка, и по точности превосходит даже таблицы логарифмов.

Теперь, когда страсти поутихли, мы можем весьма легко и просто доказать, что микрокалькулятор допускает «ошибки округления». Например, производя вычисления на особо точном микрокалькуляторе с десятью знаками после запятой, мы обнаружим, что

1п98 765 432= 18,40825822,

но в то же время

ei8,40325822:=98 765 431,70.

Попытаемся разобраться, как возникает ошибка округления. Наш микрокалькулятор разлагает функцию г/ = в степенной ряд

и вычисляет частичную сумму ряда до тех пор, пока ошибка от замены бесконечного ряда многочленом не станет меньше заданной величины. Таким образом, «ошибка» в последнем знаке запрограммирована конструктором микрокалькулятора.

Поясним сказанное на примере с вычислением f/ = e2:

2 , . 2 , 22 , 23

е2=1+- + + +

Вы можете решать эту задачу вместе с нами, даже если у вашего микрокалькулятора

Достаточно знать, что

нет клавиши

62 = 7,389056098.



Выпишем значения отдельных членов и частичных сумм ряда:

23 1-2-3

1•2-3-4

12-3-4-5

12-3-4-5-6

2! о

2" 11!

= 1,33 .,.

6,33 ...

0,6667

6,999967

= 0,266667

7,266634

= 0,088889

7,355523

=-- 0,025397

7,380920

= 0,006349

7,387269

= 0,001411

7,388680

= 0,000282

7,388962

= 0,000051

7,389013

При желании можно было бы продолжить. Для наших же целей вычисленного отрезка ряда вполне достаточно для того, чтобы показать, из каких элементарных шагов складывается работа микрокалькулятора, и понять, что конструктор непременно должен задать какую-то точность, иначе электроника вынуждена была бы функционировать нескончаемо. В принципе вычисление требуемого значения экспоненты продолжалось бы до переполнения регистра из-за слишком больших факториалов в знаменателях. Но схема микрокалькулятора сконструирована так, что процесс вычисления автоматически обрывается, когда значение, принимаемое отдельным членом ряда, никак не сказывается на общем результате. Вычислим, например, член

= 104576 4 3099804- 10-

20! 2,2429020-lOs -t.0yy»U4 lU .



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [ 21 ] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69]

0.001