Главная  Микрокалькулятор 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [ 30 ] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69]

нечному пределу, члены ряда, начиная с некоторого места, должны убывать. Для функции f{x)=cosX математики нашли следующее разложение в степенной ряд:

COSX = 1 --2Г+-4Г--6Г + ••• •

(Напомним, что р\ означает факториал числа р, то есть произведение 1-2-3...: (р-Этот ряд сходится при любых значениях х, но тем лучше (быстрее), чем меньше значение переменной х. Ускоренная сходимость означает также, что для достижения заданной точности необходимо учитывать меньшее число членов. Математическая «хитрость» состоит в следующем. Сначала при помощи нескольких операций (например, деления пополам) мы уменьшаем значения переменной х настолько, чтобы для достижения заданной точности достаточно было взять два или три члена ряда.

После того, как приближенная формула успешно использована, мы за то же самое число шагов (операций удвоения) должны вернуться к исходному значению переменной. Условимся называть первую последовательность шагов сжатием, а вторую - растяжением. По различным причинам математического характера функция у = cos х особенно удобна в качестве основы для вычисления значений всех тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Поскольку косинус - четная функция, то есть cos (-х) = cos X, то, не ограничивая общности, мы можем всегда рассматривать лишь положительные углы, причем в радианной мере.

Для перевода углов из градусов в радианы можно воспользоваться формулой

X =1- = 0,0174532 ... - а.

Сжатие состоит в п-кратном делении пополам заданного угла Хо (в радианах). Исходный угол подвергается сжатию до тех пор, пока не будет выполняться неравенство Хп < 0,3. После того, как это будет достигнуто, первые три члена

1 X , Уп~--7Г +



разложения косинуса в степенной ряд дадут нам приближенное значение уп = cos х„ с ошибкой, меньше, чем 10-.Для вычисления на микрокалькуляторе первые три члена ряда удобно преобразовать к виду

Уп = -

При возвращении к исходному значению Хо (растяжении), угол необходимо подвергнуть п-кратному удвоению. Поскольку cos 2а; = 2 cos 2х-1, за fi шагов, осуществляемых по формуле

y, ,-2yj-U

мы достигнем значения г/о.

Схема вычисления значений косинуса выглядит следующим образом.

Сжатие Растяжение

Хо (в радианах) уо = cos Ха

«-кратное деление yii - 2yj - I (п раз)

пополам

3

Хп « 0,3) -> --= Уп

Значения трех других наиболее употребительных тригонометрических функций можно выразить через значения косинуса по следующим формулам Дг/о =

= cos Хо);

sin Хо = д/1 - г/2;

ctg Хо = •

(Эти соотношения выполняются лишь для острого угла Хо.) Таким образом, если значение косинуса известно, то для вычисления значений синуса, тангенса



и котангенса нам понадобится нажать на клавиши микрокалькулятора лишь еще 5 раз. Вычислим, например, г/о = cos 67°:

л:о= 1,1693706; Xi = 0,5846853; д;2 = 0,2923426 «0,3);

(-зУ-з

1/2 = 0,9575722 = -f--;

г/=: 0,8338891; г/о = 0,3907421.

На клавиши микрокалькулятора всего требуется нажать 34 раза.

Более точное значение: cos 67° = 0,390731128. Следовательно, погрешность вычислений составляет Af « ЫО-. Так как при переходе к обратным тригонометрическим функциям («аркфункциям») независимая и зависимая переменные меняются местами, то и последовательность выполнения операций также изменяется на противоположную. Из тригонометрии известно, что

cos л: + 1

COS- -

поэтому при «сжатии» вычисления на каждом шаге производятся по формуле

Xi + \

и обрываются, как только будет выполнено условие X 0,9. В качестве приближенной формулы используется все тот же отрезок степенного ряда для косинуса

Un - я

но соотношение между уп и Хп необходимо предварительно разрешить относительно, Хп и изменить

4 Зак. 293 97



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [ 30 ] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69]

0.0011