Главная  Микрокалькулятор 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [ 52 ] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69]

Выглядит она устрашающе, хотя в действительности «безобидна». Мы выписали ее полностью без всяких сокращений лишь для того, чтобы вам было легче удовлетворить свою любознательность и вычислить вероятность угадывания четырех номеров в лотерее «6 из 49». Для этого вам достаточно в формуле для Wz все пятерки заменить четверками.

Если вы участвуете в розыгрыше лотереи другого типа и хотите вычислить, сколь велика вероятность угадать а номеров в лотерее «Ь из с», то можно воспользоваться общей формулой

(с-Ъ)\ Ь\ (с-ЬУЫ

а. [с -6 -(6 -а)]! (6-а)! {Ь - а)\ а\ с!

Вернемся еще раз к вероятности Ws угадать 5 номеров в лотерее «6 из 49», Подсчитав разности в скобках и отбросив множитель 1! = 1, получим после некоторых упрощений

•т 43Г6!43!6! 43 • 6 • 720 - 1 о 4 10"

4215149! ~ 44-45-46.47-48-49 "~

Итак, теперь вы либо знаете, либо можете вычислить вероятность выигрыша в любой лотерее. Разумеется, мы не можем сказать заранее, удастся ли вам окупить расходы.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Когда мы учились в школе, значительная часть курса математики отводилась решению уравнений. Условия задач нередко были подобраны так, чтобы ответ выражался в целых числах. На практике в большинстве случаев наблюдается обратная ситуация: «ответы» далеко не всегда бывают «круглыми», а некоторые алгебраические уравнения не удается решить средствами элементарной математики, и для отыскания их корней приходится прибегать к приближенным методам.

Поговорим сначала об алгебраических уравнениях, корни которых можно выписать в явном виде.



Формулу, выражающую корни квадратного уравнения -\- ах -\- b = О через его коэффициенты, мы привели в разделе «Золотое сечение». Следом (по степени старшего члена) за квадратными идут кубические уравнения, которые приводятся к виду

+ ах + 6х + с = 0.

(Если коэффициент при х отличен от единицы, то все уравнения необходимо разделить на него.) Коэффициенты а, b и с могут принимать любые вещественные значения (и в частности, обращаться в нуль).

В дальнейшем нас будут интересовать вещественные корни уравнений, то есть точки, в которых график функции y - f(x) в координатах ху пересекает ось X.

Необходимо различать следующие случаи:

1) кубическое уравнение имеет лишь один вещественный корень;

2) кубическое уравнение имеет три вещественных корня.

Любая другая возможность исключена. Построив по точкам кубическую параболу, вы всегда можете выяснить, сколько вещественных корней имеет интересующее вас кубическое уравнение. Если вы чертите неохотно и предпочитаете производить вычисления, то число вещественных корней вам поможет определить следующий признак:

при (г7/2)2--(р/3) О кубическое уравнение имеет лишь один вещественный корень (случай 1), при ((?/2)2 + (р/3)=< О число вещественных корней равно трем (случай 2).

Вспомогательные величины р п q связаны с коэффициентами приведенного кубического уравнения соотношениями

р = Ь-, q-d--3" + С.

Вещественные корни выражаются через р w q следующим образом. Случай 1:

-VV(f)"+(-f)"+bi-



Случа?! 2 (р < 0):

где (f = arccos Iy\J-Различие во

«внешнем виде» корней в случаях 1 и 2 объясняется тем, что кубические уравнения решены различными методами.

Предлагая вам решить приведенное уравнение четвертой степени

Х4 + ах + Ьх + сх + d = О,

мы по сушеству знакомим вас с методом, предложенным около 1570 г. итальянским математиком Бом-белли.

Прежде всего необходимо составить так называемую кубическую резольвенту

2 + fei22 + 22 + кз = 0,

к, = Ь,

k2 = ac-Ad,

k, = {cj + d {{af~Ab].

Используя приведенные выше формулы, решим это кубическое уравнение и обозначим через z\ его наименьший вещественный корень. Зная его, составим квадратное уравнение

г2 + 2,г -f d = 0.

Оно имеет два вещественных корня:



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [ 52 ] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69]

0.0008