Главная  Микрокалькулятор 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [ 53 ] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69]

Вычислив корни ri и Гг, найдем значения вспомогательных величин

ar - с

Si = -

So -

Если до сих пор вы нигде не ошиблись, то должно выполняться соотношение si-s - Ь -\- Z\.

Теперь мы располагаем всем необходимым, чтобы найти четыре корня исходного уравнения четвертой степени;

+V(f)---

Хл = -

Если при извлечении корня на индикаторе вашего микрокалькулятора появляется сигнал, свидетельствующий об ошибке, то число, стоящее под корнем, отрицательно. Это означает, что соответствующий корень уравнения не веществен и поэтому не представляет для нас интереса.

В следующем примере мы показываем, как решать уравнение четвертой степени, и попутно используем метод решения кубических уравнений.

Рассмотрим уравнение

+ 2x2 + 6х - 15 = 0.

Коэффициенты его кубической резольвенты равны, соответственно

fe, = 2, у2 = 48, ife3 = 96.

Следовательно, кубическая резольвента имеет вид

3 + 482 -f 96 = 0.



Вычислим теперь вспомогательные величины р и qi р = 48-4 = 46,67;

= A.8-A li + 96 = 64,59.

Вычисляя ((?/2)2 + (р/3)з, получаем число 4807,1111 > 0. Следовательно, мы имеем дело со случаем 1, то есть кубическая резольвента имеет лишь один вещественный корень. Он равен

2, = -2.

Вычислить его можно по формуле, приведенной выше для случая 1, а в его правильности нетрудно убедиться пря.мой подстановкой.

При zi = -2 мы получаем квадратное уравнение

г2 -2г - 15 = 0

с корнями

/"1 = 5 и Г2 = -3.

Находим вспомогательные величины Si и Szi

Si = -2, 52 = О

и производим проверку (должно выполняться соотношение Si-S2 = b -\- Zi):

-2.0 = 2-2.

Поскольку «все сошлось», то пока все вычислено верно. *

Выпишем, наконец, все четыре корня нашего уравнения четвертой степени:

=-X+V(¥7-= *+

(не вещественный!);

(не вещественный!);

Хз = --+ лJ{У-r2=/3 1,7320508;

Х4 = - - V(¥7- = - V3 -1.7320508.

Итак, мы убедились, что корни уравнений второй, третьей и четвертой степеней можно в явном виде



выразить через коэффициенты уравнения при помо-щи конечного числа арифметических операций и извлечений корней. Если же уравнение содержит неизвестную X в более высокой степени, то такой формулы в общем случае не существует. То же относится и к трансцендентным уравнениям, содерлощим члены с sin X, in X и т. п. (Особые случаи, когда алгебраические уравнения высокой степени или даже трансцендентные уравнения оказываются разрешимыми, мы рассматривать не будем.) Для решения таких уравнений необходимо воспользоваться приближенными методами.

Один из приближенных методов основан на использовании весьма простых операций и известен под названием «правило ложного положения». Его с успехом применяли еще наши бабушки и дедушки. Этот метод позволяет указать «вилку», в пределах которой находится нуль уравнения.

Начнем с того, что с помощью каких-либо соображений, предварительных прикидок или построенного от руки графика определим, хотя бы грубо, границы, между которыми заключен подлелощий уточнению нуль уравнения. Пусть х - точное, не известное нам значение нуля уравнения, Хо и Xi - значения х, лежащие по разные стороны от х. Соответствующие значения переменной у (их мы обозначим г/о и г/i), вычисляемые по левой части нашего уравнения, имеют противоположные знаки. Основная идея правила ложного положения состоит в том, чтобы провести через точки Ро{хо, уо) и Pi(xi, г/i) прямую и точку ее пересечения с осью х принять за первое приближение к точному значению нуля уравнения х. Кривая f{x) при этом заменяется хордой (рис. 19). Наше построение можно описать на языке формул:

Xi -~ Xq

ХХ2 = Х,-У1

Вычислим значение функции /(х2)=г/2. Оно имеет противоположный знак по сравнению либо с уи либо г/2. В рассматриваемом нами примере противоположные знаки имеют г/2 и yi.

Через точки Pi(xi,yi) и PiXiyi) мы снова проведем хорду и точку хз ее пересечения с осью х при-



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [ 53 ] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69]

0.0017