Главная  Микрокалькулятор 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [ 60 ] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69]

носительная ошибка. Она зависит от ширины коридора ошибок в рабочем диапазоне прибора.

Если у вас возникают какие-либо со.мнения в правильности паспортных данных прибора, то, повторив измерение достаточно много раз, вы можете принять отклонение равным полуразности наибольшего и наименьшего значений, то есть положить Ал:=(л:тах-• лтш)/2, а в качестве значения х выбрать среднее арифметическое результатов отдельных измерений.

Определив понятие отклонения (которое мы в даль-i нейшем для краткости будем называть просто ошибкой), можно сформулировать интересуюшую нас математическую задачу, имеющую важное практическое значение: как сказываются на точности конечных результатов расчета, производимого по формулам, неизбежные ошибки в начальных данных?

Начнем с простого примера. Предположим, что вы хотите приобрести бревно и вас интересует его масса. В вашем распоряжении имеется мерная линейка, микрокалькулятор и формула M={nd/i) -l-p. Вы измеряете длину бревна (/== 1,85 м) и оцениваете допускаемую при этом ошибку в ±1 см (торцы бревна не строго перпендикулярны его оси). Затем вы предпринимаете попытку измерить диаметр бревна и получаете d = 0,46 м. Из-за того, что торцы не плоские и считывать деления мерной линейки вам приходится под углом, вы снова допускаете ошибку, составляющую по вашим оценкам ±1 см. Наконец, вам необходимо знать плотность дерева р. Вы знаете, что дерево плавает в воде, поэтому р 1 г/см. Предположи.м, что по вашей оценке плотность можно принять равной

р = (0,9 ±0,1) кг/дмз.

Нисло я вы полагаете равным 3,14 (совершая при этом пренебрежимо малую ошибку я:0,05 %). Вводя полученные величины в микрокалькулятор, получаете:

M = .Mii,85 . 4,62 . 0,9

При вычислении физических величин на микрокалькуляторе всегда выражайте однотипные величины в одних и тех же единицах.



На индикаторе микрокалькулятора загорится число 276,56649. Означает ли это, что массу бревна вам удалось оценить с точностью до сотых долей грамма? Нет, иллюзию «сверхточности» рождает большое число знаков после запятой. Желая оградить себя от довольно неприятного ошущения пальбы из пушек по воробьям, вы, естественно, хотели бы знать, до какого знака верен полученный результат, то есть сколько знаков после запятой разумно удерживать. Математики отвечают на ваш вопрос следуюшим правилом (1):

при умножении (или делении) величин, содержащих ошибку, относительная ошибка произведения (частного) равна сумме относительных ошибок сомножителей (делимого и делителя).

Применительно к нашему примеру это означает следующее. Выпишем все величины вместе с абсолютными и относительными ошибками (последние указаны в скобках):

/= 18,5 ±0,1 см (0,5 %),

р = 0,9 ±0,1 кг/дмЗ(11,1 %),

d = 4,6±0,l дм(2,2 %).

Поскольку - d-d, то, согласно правилу (1), относительная ошибка, допущенная при вычислении квадрата диаметра d, равна удвоенной относительной ошибке, с которой измерен диаметр d. Следовательно, масса бревна (в силу того же правила (1)) вычислена вами с относительной ошибкой

=0,5%+ 11,1 %+2-2,2% = 16%,

что соответствует абсолютной ошибке

AM = 0,16-Л! «. 0,16-227 «44 кг.

Следовательно, все знаки после запятой в вычисленном вами результате неверны:

м = (277 ± 44) кг.

Если вы хотите перевезти это бревно на собственной автомашине, то «на всякий случай» вам необхо-



димо считать максимальную нагрузку равной 320 кр (массы).

Наиболее важные случаи распространения ошибок перечислены в следующей таблице. Показатель степени п может принимать произвольные значения. Если п - правильная дробь (следовательно, если из основания степени извлекается корень), то ошибка уменьшается

Вычислительная операция

f (ХЬ Х2)

Абсолютная ошибка Af

Сложение

X, + Х2

Вычитание

X, - Х2

Умножение

Xi-Xi

Деление

Xy-.Xt

Axilxal -ЬАХ2ДГ

Возведение в степень

X\n.\\x"-\

Относительная ошибка

Axi -Ь Аха 1 X,-f Хз! Ах, -1- Ахз

Ах, х, Ах,

Ахг 1x1

Ь.Х2

1X21

Ах \х\

Из этой таблицы нетрудно усмотреть правило (2):

при сложении (или вычитании) величин, содержащих ошибку, абсолютная ошибка их суммы (разности) равна сумме абсолютных ошибок слагаемых (уменьшаемого и вычитаемого).

При вычислении более сложных выражений надлежит комбинировать оба правила.

Предположим, что вы хотите вычислить площадь Ло поверхности цилиндрической коробки, состоящей из верхней и нижней крышек (суммарной площадью А\) и боковой поверхности (площадью Дг):

Ла = 2

Измерив диаметр D коробки, вы обнаружили, что £) = 5 см ± 2 мм (относительная ошибка 4 %), а при



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [ 60 ] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69]

0.0034