Главная  Микрокалькулятор 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [ 68 ] [69]

выражается бесконечной периодической (то есть состоящей из повторяющихся наборов щтфр - периодов) дробью. Длины периодов и номера знаков после запятой, с которых начинается периодическая часть, у различных дробей, вообще говоря, не совпадают. Период дроби принято указывать в скобках, например;

-f =1,2(7)...,

Но бесконечные периодические дроби отнюдь не исчерпывают все возможные представления рациональных («разумных») чисел при помощи бесконечного набора целых чисел. Рациональные числа можно разложить, например, в непрерывную дробь.

Теоретические основы такого разложения были заложены в трудах знаменитого математика Леонарда Эйлера (1707-1783).

Конечная непрерывная, или цепная, дробь п-го порядка имеет вид

Со +

Й2+

йз-Ь ...

Еепринято обозначать символом

[оо; Й1, Й2, й„].

Разлагая рациональное число "Ав в непрерывную дробь, мы получим следующие промежуточные результаты;

18 ~ 5

1+ 18

»

18/5

3 -Ь 3/5

5/3 "~"

1 -Ь 2/3

3 "~

1 + 1/2 •



Следовательно, рациональное число /l8 представимо в виде конечной непрерывной дроби

+-v-

или сокращенно в виде символа 23

1; 3, 1, 1, 2].

Если вы захотите проверить правильность полученного разложения при помощи микрокалькулятора, то вам понадобится клавиша для вычисления обратных величин.

Стоит хотя бы немного «пошевелить» числитель илн знаменатель заданной дроби, как разложение изменяется до неузнаваемости. Сравните разложение в непрерывную дробь числа Vis с разложением

" = 1 +-ц~=[1; 3, 1. 4].

"з+

Заметим, что рациональное число представимо

в виде бесконечной периодической десятичной дроби

--= 1 (263157894736842105)

Даже микрокалькулятор с большим числом разрядов не способен «вместить» столь длинный период на своем индикаторе.

Набрав рациональное число 24 : 19 и сравнив число на индикаторе вашего микрокалькулятора с приведенным выше десятичным разложением того же числа, вы сможете выяснить, округляет ли ваш микрокалькулятор (с 6-, 8-или 10-разрядньш индикатором) последнюю цифру.



Мы уже упоминали о том, что любое рациональное число представимо в виде конечной непрерывной дроби. А как обстоит дело с иррациональными («неразумными») числами? Математики установили, что любое иррациональное число представимо в виде бесконечной непрерывной дроби. В бесконечном наборе фигурирующих в разложении целых чисел можно обнаружить и периодичность, и другие закономерности. В этом нас убеждают следующие примеры.

Начнем с иррационального числа V2- Существует вполне определенный алгоритм, позволяющий разлагать корни в непрерывные дроби. Изложение этого метода несколько громоздко, и мы избавим и вас, и себя от него, приведя лишь окончательный результат:

V2~=H--Ц-= [1; 2, 2, 2, ...].

2 +-Ц-

2 + -

2+ ...

Не следует думать, будто разложение V 3 в непрерывную дробь отличается от разложения 1 лишь тем, что «двойки» заменены «тройками».

Если вы захотите воспользоваться непрерывной дробью для вычисления V 2, то начинать лучше всего «снизу», причем вводить следует число /2. Затем вы должны поочередно

Сколь

нажимать клавиши

+ , 2 и 1/х

глубоко расположен «этаж», с которого удобно начинать вычисления, зависит от точности. Каждый из трех шагов доставляет примерно один знак после запятой. Закончив вычисление, прибавьте к полученному результату единицу.

Менее привлекательно выглядит разложение в непрерывную дробь числа Vl. однако оно обладает периодичностью (период отмечен чертой сверху):

л/ЗГ=[5; 1, 1, 1, 3, 5, 3, 1, 1, 10, ...].

Встречающееся во многих математических соотношениях число Эйлера е (основание натуральных



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [ 68 ] [69]

0.0014