Главная  Микрокалькулятор 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [ 6 ] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69]

ними витками такой спирали возрастает по мере удаления от исходной точки. Для грампластинок логарифмическая спираль была бы неудобна. Но вернемся к нашей грампластинке. О ней нам пока известно, что

max ==140 мм, Гп,!п = 70 ММ, /г = 0,11 мм.

Этих данных еще недостаточно для того, чтобы мы могли рассчитать спираль. Необходимо еще знать


Рис. 2. Архимедова спираль: г = atp (в полярных координатах) при а = 2 мм.

масштаб а, поскольку расстояние между двумя соседними витками спирали составляет

к = 2я- а,

откуда

=0,02 мм.

На рис. 2 мы выбрали а = 2 мм, поскольку в противном случае витки спирали были бы едва различимы.

Прикинем быстро (в этом - преимущество микрокалькулятора) все данные для спирали с а = 2 мм. В полярных координатах уравнение архимедовой спирали имеет вид

г = аф,



Угол ф измеряется в радианах. Если у нашего мик-

рад , то необходимо

рокалькулятора нет клавиши вычислить переводные множители;

1° = трад,

1 рад = 57°1745" = 57,2957795 ..Л

Вычислим г при 90°. Сначала необходимо перевести угол 90° в радианы;

90° = -4.. 90 = f рад.

Следовательно,

/ = а.ф = -1 = 3,14 мм.

Сверим полученный результат с рис. 2. Угол 90° следует отсчитать от положительного направления оси X против часовой стрелки (так принято отсчитывать углы у математиков). Действительно, точка пересечения спирали с положительным направлением оси у отстоит от начала координат на 3,14 мм. Если под рукой имеется микрокалькулятор, позволяющий переходить от полярных координат к прямоугольным, то каждую точку спирали можно задать в обеих системах координат. Следующие формулы позволяют сделать то же самое при помощи любого микрокалькулятора, если у него имеются клавиши для вычисления тригонометрических функций:

г = л]-\-if, л; = ГС08ф, 9 = arctg--, г/ = Г5тф.

Убедившись в том, что архимедову спираль можно весьма просто задать в полярных координатах5 вернемся к нашей грампластинке. Нам бы хотелось знать длину бороздки, Длина s спирали от центра до точки ф составляет

5 = -f- (ф Vl + + Arsh ф),

где sh ф = {ef - e-f)/2 - гиперболический синус, а Arsh Ф = In [ф + V1 + "~ обратная ему функция £4



(ареасинус). Следовательно,

S = I{ф л/ТТ¥ + In [ф + VT+]}-Угол 360°, если его выразить в радианах, равен 360-т 2л.

Это позволяет преобразовать выражение для s к более приятному виду:

s = Y ((2Jt Vl + 4я2) + In [2я + л/1+4л ]}.

Вычислив S, мы получили бы очень маленькое значение: 0,425 мм. Такова длина первого витка вокруг центра грампластинки. Но вблизи ее центра никаких витков нет. Спираль начинается лишь на расстоянии 70 мм от центра. Следовательно, после каждого оборота мы должны увеличивать угол ф на 2я. Прикинем: на 1 мм умещается 9 витков,

на 70 мм -630 витков,

но они не оттиснуты на грампластинке,

на 140 мм умещается 1260 витков.

Чтобы найти суммарную длину витков, мы должны вычислить

s = S]2m - %0

Для спирали, не нанесенной на грампластинку, получаем

5бзо = -{630 . 2я Vl + 6302-4я2 + + In [630 . 2я + Vl + 630. 4я2]} = = . 15668993,43 156689,93 мм,

а для спирали, которая заполнила бы всю грампластинку,-

«1260 = f (1260 . 2я Vl + 12602.4я2 +

4- 1п [1260 . 2л + Vl + 12602. 4я2]} = 626759,46 мм.



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [ 6 ] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69]

0.0015