Главная  Микрокалькулятор 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [ 9 ] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69]

чила эта формула, объясняется отчасти ее простотой. Вычислить стандартное отклонение s не так просто; для этого необходимо воспользоваться формулой

то есть составить разности между измеренными значениями и их среднигМ арифметическим, возвести их в квадрат, просуммировать квадраты и, разделив на п- 1, извлечь из полученного результата квадратный корень. Если п очень велико, то сложение приходится производить многократно. В подобных случаях удобнее поступать иначе.

Начнем с примера. Рост каждого из 30 школьников впишем в таблицу:

1.43 1,48 1,62 1,65 1,69

1.44 1,50 1,63 1,67 1,69 1,46 1.52 1,64 1,67 1,70

1.46 1,53 1,64 1,68 1,70

1.47 1,55 1,64 1,68 1,70 1,47 1,55 1,65 1,68 1,71

Чтобы сократить вычисление среднего арифметического М. и Стандартного отклонения s, прежде всего произведем разбиение на группы. В одну группу включим школьников, рост которых заключен между 1,40 и 1,44 м, в другую - тех, чей рост колеблется от 1,45 до 1,49 м и т. д. (При разбиении на группы удобнее всего воспользоваться линованной бумагой). Средние арифметические Хт по группам составляют соответственно 1,42, 1,47, 1,52 м и т. д.

Затем каждой группе мы присвоим номер. Для этого предположим, что среднее арифметическое по всей выборке (средний рост 30 школьников) равно некоторому числу, и группу, которой принадлежит это число, назовем нулевой (ошибка в выборе среднего арифметического по всей выборке никак не сказывается на окончательном результате!). Все остальные группы нумеруются «по росту» целыми числами, положительными, если группа «выше» нулевой, и отрицательными, если группа «ниже» нулевой Как выглядит разбиение на группы в нашем примере, показано в следующей таблице.



Группа

Среднее по группе

Абсолютная частота

Номер группы m

1,40-1,44

1,42

1,45-1,49

1,47

-2

1,50-1,54

1,52

1,55-1,59

1,57

1,60-1.64

1,62

1,65-1,69

1,67

+ 18

1,70-1,74

1,27

+ 12

Суммы

Я = 30

Л = +16

В= 118

Принятое нами значение среднего ариф.метическо-го по всей выборке х (= 1,57 м) и ширина группы d ,(=0,05 м) связаны с истинным значением среднего арифметического М соотношением

M = Jc +

1,57 +

0,05 16

1,60 м

= 0,05 д/- (l 18 -= 0,097 0,1 м.

Более точные значения среднего арифметического и стандартного отклонения: М = 1,5967 и s = 0,0958. В странах английского языка мерой разброса значений принято считать не стандартное отклонение s, а так называемую дисперсию s.

Под средним мы почти всегда имеем в виду среднее арифметическое. Однако в некоторых случаях бывают удобнее другие средние.

Например, если полученные в результате проведенных измерений значения колеблются относительно среднего несимметрично, то есть если их распределение смещено, разумно ввести медиану - то из наблюденных значений, которое делит все распределение на две равные по величине части (каждая половина содержит 50% исследуемых объектов). В примере со школьниками «сечение» проходило бы между пятнадцатым и шестнадцатым учеником, если весь класс

2 Зак. 293



выстроить по росту. Как показывает составленная нами таблица, медиана в этом случае равна 1,64 м.

Из других средних нельзя не упомянуть о сред-нем геометрическом и среднем гар.моническом. Сред-нее геометрическое вычисляется по формуле

где Xi, Хг, ..., Хп - (положительные) значения измеряемой величины, an - число измерений. Это среднее используется главным образом в тех случаях, когда необходимо получить представление о средних данных, характеризующих процесс роста, для описания которого используются относительные показатели, например доли в процентах.

Пусть за последние три года прирост чего-то составил соответственно 5 %, 8 % и 8 % (каждый раз по сравнению с предыдущим годом). По нашей формуле средний прирост этого таинственного «чего-то» за три года составляет

5-8.8 =320 =6,84 %. Наконец, существует среднее гармоническое

Оно служит для вычисления средних значений скоростей, плотностей и других величин, определяемых отношениями.

Рассмотрим, например, следующую задачу. Предположим, что мы едем по пюссе со скоростью 60 км/час и на пути нам встречается подъем. Преодолевая его, мы движемся со скоростью 30 км/час. С какой скоростью нам следует ехать на спуске, чтобы средняя скорость движения осталась неизменной? Те, кто считают, будто нам следует на спуске развить скорость 90 км/час, заблуждаются. Если же в приведенную выше формулу подставить Мц = 60, п = 2, Х\ = 30, то получится, что скорость Х2 должна быть бесконечно большой, а движение с такой скоростью возбраняется правилами дорожного движения.

Наша формула для среднего гармонического полностью исключает случай, когда средняя скорость вдвое больше одной из усредняемых скоростей.



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [ 9 ] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69]

0.0008