Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [ 101 ] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

Следовательно, х (tf) представляется в виде линейной комбинации векторов, представляющих собой столбцы матрицы управляемости (10.84), и при любом допустимом управлении точка X (tf) принадлежит подпространству, порожденному столбцами матрицы управляемости У. Поэтому если ранг матрицы У меньше п, то существуют точки, не принадлежащие указанному подпространству, куда нельзя перевести объект (10.83) из точки X (0) = 0.

Достаточность. Пусть ранг матрицы У равен п. Из (10.86) при X (0) = О и = tf имеем

х(0)= е*</~>Ви(т)йт.

Объект (10.83) вполне управляем, если интегральное уравне-xf==f eMV-)Bu(T)dT

при произвольном xf из R" имеет решение в классе допустимых управлений. Будем искать решение в виде (61

и(т) =(e(/)B)z.

где Z - вектор из R". Подставив это выражение в интегральное уравнение, получим

xf = Dz,

D= [е* В (е* dr.

о .

Таким образом, вопрос о существовании решении интегрального уравнения свелся к вопросу о существовании решения алгебраического уравнения. Полученное алгебраическое уравнение имеет решение при произвольном xf, если det D Ф 0. Допустим противное: det D == 0. Тогда соответствующее однородное уравнение имеет ненулевое решение, т. е. сущест-



вует вектор хфО такой, что Dx l = 0. Умножив слева на Хх и подставив выражение для D, получим

= 1 1хе*"/-вГйт=0.

В силу непрерывности подынтегрального выражения последнее равенство возможно, если при всех О < т < /

хТ еА«/-)В = 0. (10.88)

Используя (10.87), нетрудно показать, что

==АеА.

Дифференцируя тождество (10.88) по т, получим

х А* е*В = О, ft = 0, 1. 2, .... п-1, или при т: = tf

х А*В = 0, fe=0, 1. 2, .... п-1. "

Заметим, что А" == Е. Из последних равенств следует, что ненулевой вектор х± из R" ортогонален всем вектор-столбцам матрицы управляемости У, а это невозможно, так как по условию ранг матрицы У равен п. Следовательно, допущение о том, что det D = О, неверно. Критерий управляемости полностью доказан.

Управляемость объекта (10.83) полностью определяется матрицами А и В. поэтому используют еще следующую терминологию: пара (А, В), в которой А и В - матрицы размерности п X п и п X г соответственно, называется вполне управляемой, если объект (10.83) вполне управляем.

Рассмотрим неособое (невырожденное) преобразование

х=:Тх, detТ90. В новых переменных уравнение (10.83) принимает вид

х=АхЧ-Ви, (10.89)



g A = T-iAT, B=T-B. Как легко проверить. A= = TAT, == 1, 2.....n - 1. Поэтому матрица управляемости объекта (10.89)

у [в Двав... а"в] тмв авав... А"- в] = т-1у.

Так как ранг матрицы Т-» равен п, то ранг матрицы У совпадает с рангом матрицы У. Таким образом, свойство управляемости не зависит от выбора системы координат.

Назовем областью управляемости линейного стационарного объекта область, состоящую из точек, в которые может быть переведен объект из точки х" == О за конечное время или, что то же самое, из которых объект может быть переведен в точку xf = О за конечное время. Очевидно, если объект вполне управляем, то его область управляемости совпадает со всем фазовым пространством. Если объект не вполне управляем, то, как было показано при доказательстве критерия управляемости, объект не может быть переведен из точки х" = О в точку, которая не принадлежит подпространству Ry - подпространству, порожденному вектор-столбцами матрицы управляемости. Можно показать, что область управляемости совпадает с подпространством R, поэтому подпространство Ry называют подпространством управляемости.

Пусть ранг матрицы управляемости объекта (10.83) равен /(/ < п). Сформируем матрицу Т преобразования х = Тх в виде Т = (ТДа), где вектор-столбцы матрицы Ti образуют базис /-мерного подпространства управляемости (в частности, ими могут быть / независимых столбцов матрицы управляемости), а вектор-столбцы матрицы Tj вместе с вектор-столбцами матрицы Tj образуют базис п-мерного пространства. Тогда уравнение (10.83) в новых переменных приобретает вид так называемой канонической формы управляемости (101:


"=А,,х"-ЬА.,х-ЬВ.и;1

(10.90)

t=A2.. I

где х<*> - /-вектор; х<> - (м - /)-вектор; Аи, Ai. Кг, Bi - матрицы соответствующей размерности.



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [ 101 ] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0012