Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [ 102 ] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

Из структуры системы уравнений (10.90) видно, что вектор х> неуправляем: закон его изменения во времени никак не зависит от управления. Наоборот, вектор х<> и соответственно пара (Ац, Bi) вполне управляемы: состояния, вида X = col (х<*>0) («со1» обозначает столбец) принадлежит подпространству управляемости. Используя представление уравнения объекта в канонической форме управляемости, можно сформулировать следующий критерий управляемости: объект вполне управляем в том и только в том случае, если его уравнение нельзя неособым преобразованием привести к виду (10.90), где множество координат вектора х<) не пусто.

Стабилизируемость. Если линейный объект не вполне управляем, то его вектор состояния можно представить в виде

X==Xy-i-Xj,

где Ху - вектор из подпространства управляемости Ry, Xj - вектор, ортогональный всем элементам из Ry, т. е. элемент из ортогонального дополнения Ry. Подпространство Ry называют подпространством неуправляемости. Из доказательства критерия управляемости следует, что объект не может быть переведен из точки х" в точку х<), если х" (х* Ф 0) или х<>Х X (х<> =5 0) принадлежат подпространству неуправляемости. В связи с этим возникает вопрос, всегда ли необходимо, чтобы объект был вполне управляем, если условия работы синтезируемой системы управления таковы, что она в процессе функционирования попадает в подпространство неуправляемости. Оказывается, что для синтеза устойчивой системы управления важным является не полная управляемость, а стабилизируемость.

Стационарный линейный объект

X = Ах г Ви

называется стабилизируемым, если в представлении х = х -f + \х неуправляемая составляющая х-О при оо.

Непосредственно из определения следует, что вполне управляемый объект является стабилизируемым, так как в этом случае х == 0. Точно так же асимптотически устойчивый объект является стабилизируемым, так как в этом случае X -> О при f -> оо, когда U {t) = 0.

Если выбрана такая система координат (такой базис), что уравнение объекта принимает вид канонической формы управ-



ляемости (10.90), то неуправляемая составляющая имеет вид = col (О, х). Поэтому в этой системе координат х= О в том и только в том случае, когда х<> = 0. Из канонической формы управляемости (10.90) видно, что объект является стабилизируемым в том и только в том случае, если матрица является асимптотически устойчивым, т. е. ее собственные значения имеют отрицательные вещественные части. Стабилизируемость объекта

X = Ах + Ви,

как и управляемость, полностью определяется матрицами А и Б, поэтому используют еще следующую терминологию: пара (А, Б), в которой А и В - матрицы размерности п Х п и п X г соответственно, называется стабилизируемой, если стабилизируемым является соответствующий им объект.

Пример 10.14. Исследуем управляемость объекта, описываемого уравнениями

или в матричной форме уравнением

X = Ах + Ви,

Так как

АВ =

I а

. 0 ь

1 !+а6

0 1.

.06.

0 b

то матрица управляемости

У= В АВ

О Ь О b

Если Ь Ф О, to ранг матрицы У равен п = 2 и объект вполне управляем. Если Ь = О, то ранг матрицы У равен единице и объект не вполне управляем: он управляем только по одной координате. То, что объект при 6 = О не вполне управляем, видно также из его уравнений: они имеют вид канонической формы управляемости. Матрица Ag = 1 1см. (10.90)]. Ее собственное значение, равное корню уравнения det (ЕА, - А22) = Л - 1 = О, является действительным положительным числом. Следовательно, при 6 = 0 также объект не является стабилизируемым.



Отметим связь между условиями управляемости и нормальности. Очевидно, объект управляем, если выполняется условие нормальности. Обратное в общем случае неверно. Однако если управление скалярное, то оба условия совпадают: условие нормальности выполняется в том и только в том случае, если объект вполне управляем.

Управляемость при наличии ограничения на управление. Пусть имеется ограничение на управление и объект описывается уравнением

x = f (X, U, t), хе R", UG Uc:/?. (10.91)

Допустимым для объекта, описываемого уравнением (10.91), управлением являегся кусочно-непрерывная вектор-функция, принимающая значения из множества U. Введем понятие об управляемости относительно заданной точки.

Объект называется вполне управляемым относительно точки xf, если, какова бы ни была точка х" G R", существует допустимое управление на конечном интервале Itg, tf], переводящее объект из точки х (4) = х" е точку х (tj) - х.

Введенную выше полную управляемость можно определить как полную управляемость относительно любой точки х> G Заметим, что при наличии ограничения на управление полная управляемость и полная управляемость относительно заданной точки не совпадают и в случае линейного объекта. Как было показано выше, при отсутствии ограничения на управление для линейного объекта оба эти понятия совпадают. ,

пример 10.15. Рассмотрим объект, который описывается скалярным уравнением х = -х + и; 1н < «т-

В данном случае А = -1, В = 1 и пара (А, В) вполне управляема. Но в то же время объект вполне управляем не относятельно любой точки. Например, он вполне управляем относительно точки д/ = О, ио в то же время он ие вполне управляем относительно любой точки xf, для которой \xf\ > Ujn- Покажем это.

Решение рассматриваемого уравнения прн jc (0) = х* имеет вид

л(0 = л:е--f J е-<- u(T)dT. -

или при н = «* = const

j«:(0 = (Jc-и") е- + ыо.

Примем > 0. Тогда при и = -Ыт и t = tf имеем x(tf) = (x+u„,) e-f-u.



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [ 102 ] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0014