Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [ 104 ] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

Пусть некоторому начальному условию х (0) = х<*> соот-ветствует выходная переменная y<>(?). В силу соотношения (10.100) всем начальным условиям вида х (0) = х<> + х соответствует та же выходная переменная у {{):

у (О = Сх (О + Du = СеА (х<1) + xj) + С Je "-) В (т) и (т) dx +

+ Du = СеА х<) -f С J е сВ (т) и (т) dx + Du = y<i) (О-

Это и доказывает невозможность определения состояния X (0) по значениям выходной переменной, если ранг матрицы наблюдаемости меньше п.

Достаточность. Пусть ранг матрицы управляемости равен п. В силу стационарности системы достаточно показать возможность определения состояния х (0) по известным значениям выходной переменной и управления на некотором интервале Ю, ti\. Имеем

у (О = СеА X (0) -f С J е <В (т) и (т) dx + Du,

Ду (О = у <0 -с с е t-f В (т) U (т) dt-Du = СеА х (0). о

Так как у () и и (i) измеряются, матрицы С и А заданы, то функция Ау(0 и ее производные любого порядка являются известными функциями времени. Из последнего соотношения при t = О получаем

Ду (0) = Сх(0); Ау (0) = САх(0),.... ДуС-О (0) = СА«- х (0),

/Ау(0) ч /С

АУ(0)

\ Ау"-(0) /

\ СА("-)

1х(0)=Н5хЮ).

Полученное векторное уравнение с п неизвестными Xi (0) (/ = 1, п) равносильно системе из пр уравнений. Так как по условию ранг матрицы H*" равен п, то среди ир уравне-



НИИ имеется ровно п независимых уравнений. Выделив эти уравнения и решив их, однозначно определим искомый вектор X (0). На этом доказательство заканчивается.

Наблюдаемость (восстанавливаемость) системы (10.95), (10.96) полностью определяется матрицами А и С, поэтому используют следующую терминологию: пара (А, С), в которой А и С - постоянные матрицы размерности /г X п и р х п, называется вполне наблюдаемой {восстанавливаемой), если вполне наблюдаема (восстанавливаема) система (10.95), (10.96).

Подпространство Rn, порожденное строками транспонированной матрицы наблюдаемости или, что то же, столбцами матрицы наблюдаемости Н, называют подпространством наблюдаемости (восстанавливаемости). Смысл такого названия будет ясен из дальнейшего изложения.

При неособом преобразовании

х = Тх, det Тф уравнения (10.95), (10.96) принимают вид

x = Ax + Bu, y = Cx + Du,

А = Т-АТ, В = Т-»В, С = СТ.

Как легко проверить, транспонированная матрица управляемости преобразованной системы

/С /С

Так как ранг матрицы Т равен п, то ранг матрицы совпадает с рангом матрицы Н. Таким образом, свойство наблюдаемости (восстанавливаемости), как и свойство управляемости, не зависит от выбора системы координат.

Пусть ранг матрицы наблюдаемости системы (10.95), (10.96) равен / (/ < п). Сформируем матрицу Т преобразования X = Тх в виде



где вектор-строки матрицы образуют базис /-мерного подпространства наблюдаемости Rh (в частности, ими могут быть / независимых строк транспонированной матрицы наблюдаемости НО, а вектор-строки матрицы Tg вместе с вектор-строками матрицы Ti образуют базис п-мерного пространства. Тогда система (10.95), (10.96) в новых переменных приобретает вид так называемой канонической формы наблюдаемости [10]:


в. \

\ 2 /

"(0; y(0 = (CiO)x(/)-fDu

x<" = AuX() + BiU(0;

х<2) = AixC) +А22Х(2) + B,u(0;

y(/) = CiX<> -)-Du.

(10.101)

где х<) -/-вектор, х<- (п -/)-вектор; Ац, Ai, В, В, Cj- матрицы соответствующей размерности, причем пара (All, Cl) вполне наблюдаема. Из структуры системы уравнений (10.101) видно, что вектор х* никакого влияния на выходную переменную не оказывает, поэтому его координаты не могут быть определены по наблюдениям вектор-функции у (/). Эти координаты естественно называть ненаблюдаемыми или невосстанавливаемыми. Проекция фазового вектора на Rh, определяемая равенством х*** = О и имеющая вид х = = col (х<>, 0), вполне наблюдаема. Другими словами, если система движется в подпространстве Rn, то она вполне наблюдаема. Отсюда и название Rh подпространства наблюдаемости. Полностью невосстанавливаемый вектор имеет вид Со! (О, х()). Если множество координат вектора х<> пусто, то система называется полностью ненаблюдаемой (невосстанав-лиеаемой). Используя каноническую форму наблюдаемости, можно сформулировать следующий критерий наблюдаемости (восстанавливаемости): линейная стационарная система (10.95), (10.96) вполне наблюдаема (восстанавливаема) в том и только в том случае, если в ее канонической форме наблюдаемости множество координат вектора х* является пустым.



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [ 104 ] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.001