Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [ 105 ] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

Обнаруживаемость

Если система не вполне наблюдаема, то любой фазовый вектор можно представить в виде суммы: х (t) = Хн (t) + (i), где Хн (О - вектор из подпространства наблюдаемости;

(t) - полностью не восстанавливаемый ненулевой вектор. Вектор X (О восстанавливается по наблюдениям у (т) и и (т) на интервале <о < т < / с точностью до невосстанавливае-мого вектора Xj (t). Вектор х {i) в асимптотике становится восстанавливаемым, если Xj О при - оо. Поэтому важным является следующее понятие.

Система (10.95), (10.96) называется обнаруживаемой, если невосстанавливаемые координаты при нулевых остальных координатах и нулевом входном воздействии стремятся к нулю при t- оо. Непосредственно из определения следует, что вполне наблюдаемая система является обнаруживаемой. Также является обнаруживаемой любая асимптотически устойчивая система. Из канонической формы наблюдаемости (10.101) следует, что система является обнаруживаемой в том и только в том случае, если матрица А22 является асимптотически устойчивой, т. е. все ее собственные значения имеют отрицательные вещественные части.

Пример 10.17. Рассмотрим систему Xi - х, х = и, у - cxi + -\- х. в данном случае

Если с =?ь О, то ранг матрицы Н равен двум и система вполне наблюдаема. Если с = О, то ранг матрицы Н равен единице и система не вполне наблюдаема. При с - О система имеет вид канонической формы наблюдаемости и вывод о ее неполной наблюдаемости можно также сделать непосредственно по виду уравнений. Ненаблюдаемой является координата х. Матрица, определяющая обнаруживаемость системы, равна нулю, и ее собственное значение также равно нулю. Следовательно, прн с = О система является также и необнаруживаемой.

Принцип двойственности управляемости и наблюдаемости. Рассмотрим наряду с системой

x=:Ax-fBu; у = Сх (10.102)

так называемую двойственную ей систему

xAx-f Cir, у = Вх. (10.103)



Здесь принято D = О, так как эта матрица не влияет на управляемость и наблюдаемость систем. Из установленных критериев управляемости и наблюдаемости систем (10.102) и (10.103) легко получить следующий принцип двойственности (дуальности): система (10.102) вполне наблюдаема тогда и только тогда, когда двойственная ей система (10.103) вполне управляема, и система (10.102) вполне управляема тогда, и только тогда, когда двойственная ей система (10.103) вполне наблюдаема.

Наблюдатели

Перейдем от вопроса возможности восстановления к вопросу синтеза устройства, восстанавливающего текущее значение фазового вектора. Восстановленное значение фазового векторя называется его оценкой, а устройство, обеспечивающее получение оценки по измерениям управления и (т) и выходной переменной у (т) на интервале to <т: <t, - наблюдателем (101. Точнее, устройство, описываемое уравнениями

q=FqfGy-fHu; Z >»= Kq + Ly + Mu,

называется наблюдателем для системы

. . A=i«Ax-fBu;

у = Сх.

(10.104)

(10.105)

если для каждого начального состояния х" системы (10.105) существует такое начальное состояние q" для системы (10.104), что при X (to) = х" и q (to) = q" справедливо равенство

Z (О = X (0. t>to,

при всех и {f), t > to-

Заметим, что для наблюдателя (10.104) управление и ( и выходная переменная у {t) системы (10.105) являются входными переменными, а переменная z -- выходной переменной.

Устройство, описываемое уравнением

X-F-l-Gy-f Ни, П0.106)



называется наблюдателем полного порядка для системы (10.105), если при х (/„) =х (to) справедливо равенство

х(/) = х (/),/>/о,

при всех u (/), t > to.

Устройство, описываемое уравнением (10.106), называется наблюдателем полного порядка, так как его порядок совпадает с порядком исходной системы. Если наблюдатель описывается уравнением более низкого порядка, чем сама исходная система, то он называется наблюдателем пониженного порядка-

Устройство, описываемое уравнением (10.106), является наблюдателем для системы (10.105) в том и только в том случае, если

F(t)=A(t)-K(t)C(t); G(0-K(0. Н(0 = ВХО, (10.107)

где К (О - произвольная переменная во времени матрица, которую называют матрицей коэффициентов усиления.

Действительно, вычитая из первого уравнения системы (10.105) уравнение (10.106) и подставив в него выражение для у (i) из (10.105), получим

x - jT = (А-GC) x-F х Ч-(В -Н) u.

Из этого уравнения следует, что если х (f) = х (f) для всех t > to и и (t), t > to, то справедливо (10.107). И наоборот, если выполняется (10.107), то последнее уравнение приобретает вид

x-зГ-.(а-КС)(х-x), (10.108)

откуда следует, что х (О == х (t) для всех t > to и и (/),

t > to, если x (to) == x (to).

При подстановке (10.107) в уравнение (10.106) получаем уравнение наблюдателя системы (10.105):

х-(а-КС)-1-Ку-ЬВи, (10.109)

=а 4-Ви + К(у-Сх). (10.110)



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [ 105 ] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0012