Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [ 106 ] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

Модель системь

Рис. 10.3

Из последнего уравнения следует, что математическая модель наблюдателя включает в себя как составные части модель исходной системы и дополнительное слагаемое, пропорциональное разности у (О - У (t) выходной переменной и ее

оценки 7 (О = Сх (О (рис. 10.3).

Из (10.109) следует, что устойчивость наблюдателя определяется матрицей А - КС. Выпишем уравнение для ошиб-

ки е({) = X (t) - л; if). Из уравнения (10.108) имеем

е(П=(А-КС)е(0. .

Отсюда следует, что е (/)О при оо независимо от начальной ошибки е (to) тогда и только тогда, когда наблюдатель является асимптотически устойчивым. Поэтому при выборе матрицы коэффициентов усиления К необходимо прежде всего позаботиться о том, чтобы наблюдатель был асимптотически устойчивым. Но от матрицы А - К С й соответственно матрицы К зависит еще и качество наблюдателя, т. е. то, насколько быстро ошибка оценки стремится к нулю. Следовательно, выбор матрицы К, к которому сводится синтез наблюдателя вида (10.106), должен производиться из условия устойчивости и заданных требований к его качеству. В том случае, когда все матрицы системы и матрица коэффициентов усиления постоянны, т. е. наблюдатель является стационарным, устойчивость и качество наблюдателя зависят от расположения корней его характеристического уравнения, т. е. собственных значений матрицы А - КС на комплексной плоскости. Можно показать [10], что собственные значения матрицы А - КС могут быть произвольно размещены на комплексной плоскости путем соответствующего выбора постоянной матрицы в том и только в том случае, если исходная сИ-



схема, т. е. пара (А, С), вполне наблюдаема. Ьсли система не вполне наблюдаема, то можно найти такую постоянную матрицу К. "Р" которой наблюдатель асимптотически устойчив в том и только в том случае, если система обнаруживаема.

В случае стационарного наблюдателя ошибка е (t) тем быстрее сходится к нулю, чем дальше от мнимой оси расположены корни характеристического уравнения наблюдателя на комплексной плоскости. Этого можно достичь при большой матрице коэффициентов усиления. Однако с увеличением коэффициентов усиления наблюдатель становится чувствительным к произвольным шумам измерения. Поэтому оптимальная матрица К может быть определена только с учетом реальных помех.

Наблюдатели пониженного порядка. Рассмотрим стационарную систему

x=Ax-f Ви, у=Сх,

(10.1П)

где X - п-вектор; у - р-вектор, причем п >• р; А, В, С - постоянные матрицы соответствующей размерности. Пусть ранг матрицы С максимальный, т. е. равен р. Тогда уравнение наблюдения дает р независимых линейных уравнений для неизвестного состояния х (f). Чтобы определить х (f), необходимо получить дополнительно п - р соотношений для координат этого вектора.

Введем такой (п - /)-вектор р (t), определяемый соотношением

р (О = Сх it).

(10.112)

что матрица

(с.)

является неособой. Из уравнения

[с )

следует .



Используя представление

" = (L,L,), (10.J13)

где Lj и La - (п X р)- и [п X (п - р)]-матрицы соответственно, получаем

x==Liy + L2p. (10.114)

Если получить оценку р (t) для введенного вектора, то для оценки фазового вектора имеем

x-Liy+L.p. (10.115)

Таким образом, задача восстановления фазового вектора свелась к задаче восстановления вектора р (t) меньшей размерности. Для построения наблюдателя для переменной р {i) найдем для этой переменной дифференциальное уравнение. Дифференцируя (10.112) и используя (10.111), получим

р=САх + С Ви,

или с учетом (10.113)

р=СALp + CAL,y-f С Ви. (10.116)

Чтобы воспользоваться структурой наблюдателя (10.110) для системы (10.111), необходимо уравнение (10.116) дополнить соотношением, которое служило бы для него уравнением наблюдения. Таким уравнением не может быть исходное уравнение наблюдения

y=Cx=CLiy + CL2P,

так как CL = О и переменная у не зависит от р. Действительно, из (10.113) имеем

откуда CL2 = 0. Примем в качестве уравнения наблюдения уравнение, которое получается дифференцированием выражения у = Сх:

у=Сх=САх Н- СВи CALa р + CALi у + СВи.



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [ 106 ] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0017