Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [ 107 ] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

Тогда наблюдатель для р описывается уравнением

7 =С ALo? + С ALi у + С Bu + К (у - САиг? -

. -CALiy-CBu). (10.117)

В это уравнение входит производная у. Чтобы избавиться от

нее, введем дополнительную переменную q = p-Ку. Легко проверить, что

q=(CAL2--KCAL2)q + (CALaK + C ALi - -KCALi-KCALa K) у + (С В -КСВ) u {t) (10.118)

и искомая оценка

x=L,q + (Li + L,K)y. (10.119)

Уравнения (10.118) и .(10.119) определяют искомый наблюдатель. Он имеет такую же структуру, что и наблюдатель (10.104).

Пример 10.18. Построим наблюдатели полного и пониженного порядков для системы

XiXi, х==и, y = Xi.

В данном случае

-looy

Как следует из (10.110), наблюдатель полного порядка имеет вид или в скалярной форме

Для построения наблюдателя пониженного порядка, как это видно из (10.118) и (10.119), нужно определить матрицы С, Li, L. Матрица С

Должна быть такой, чтобы квадратная матрица была неособой.

В остальном она может быть произвольной. Такому условию удовлетворяет матрица С = (О 1). Из соотношения (10.113), которое в данном случае принимает вид

• В=(°); С = (1 0).


(y-xi).

(с.г-(;:г=(;:)=--



имеем

Подставив выражения для А, В, С, С, Li и L„ в (10.118) и (10.119), получим

Напомним, что матрица или в случае наблюдателя пониженного порядка в данном примере скалярная величина k выбирается из условия устойчивости и заданных требований к качеству наблюдателя.

§ 10.6. Методы синтеза оптимальных систем с обратной связью. Синтез оптимальных линейных систем по интегральному квадратичному критерию

Метод фазовой плоскости синтеза оптимальной по быстродействию системы

Пусть задан вполне управляемый линейный стационарный объект

x=Ax-+-Bu,

все корни характеристического уравнения которого действительны. Управление скалярное и подчиняется ограничению \и\ < 1. Более общее ограничение вида а < ы < р, где а < О и Р > О, введением новой переменной v = 2и - (а -f + - а) всегда приводится к этому виду. Рассмотрим задачу синтеза оптимального по быст15одействию регулятора, обеспечивающего перевод системы из произвольной начальной точки в начало координат.

Так как управление скалярное, условие нормальности совпадает с условием полной управляемости, поэтому выполняются все условия теоремы об п интервалах. В соответствии с этой теоремой оптимальное управление, имея не более п интервалов постоянства, принимает только крайние значения: -1 или 1. Если представить его как функцию фазовых. координат и* = и (х), то ясно, что все фазовое пространство можно разбить на два подпространства: подпространство, в котором ы* = -1, й подпространство, в котором ы* = 1. Ги-



перповерхиость (при п = 2 - кривая, при п = 3 ~ поверхность), которая делит фазовое пространство на указанные подпространства, называют гиперповерхностью {кривой, поверхностью) переключения. Если записать уравнения гиперповерхности о (х) = О, то, как известно из аналитической геометрии, о (х) >» О по одну сторону от гиперповерхности переключения и а (х) < О по другую. Всегда (при необходимости умножением на -1) можно добиться того, чтобы функция (ijc) была отрицательна в подпространстве, где и* - -1, и положительна в подпространстве, где ы* = 1. Тогда, очевидно, и* = sign 0 (х). Поэтому нахождение оптимального алгоритма управления сводится к определению функции переключения о (х).

При /г = 2 для нахождения функции переключения можно воспользоваться методом фазовой плоскости. На фазовой плоскости строятся семейства фазовых траекторий, соответствующих управлениям и* - -1 и и* - 1. Оптимальная траектория представляет собой часть траектории или соединение частей двух траекторий из построенных семейств. В силу граничного условия X {tf) = О она должна оканчиваться в начале координат. Используя эти свойства оптимальных траекторий, нетрудно определить кривую переключения, а по ней - функцию переключения. Проиллюстрируем изложенное на примере.

Пример 10.19. Произведем синтез оптимального по быстродействию регулятора двигателя, описываемого уравнениями = - и, «K

1. В данном случае оптимальное управление имеет два интервала постоянства. Найдем уравнение фазовых траекторий при U = - 1 ни =1. При и - - I, разделив второе уравнение на первое, получаем dxJdXi = - Х/х, откуда после интегрирования находим

xl = -2xi-fC,.

Аналогично при и ~ 1 находим x = 2Xi + Cj.

Семейства фазовых траекторий, соответствующие каждому из полученных уравнений, приведены на рис. 10.4; а. Оптимальная фазовая траектория должна состоять из участка траектории одного семейства, проходящей через начальную точку, и участка траектории другого семейства, проходящей через иачало координат. Из сказанного следует, что переключение должно произойти на полутраекториях АО или ОВ (рис. 10.4, а). Очевидно, если вначале и* = - 1, то переключение должно произойти на полутраектории ВО, которая описывается вторым уравнением при Cj = 0:



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [ 107 ] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0012