Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [ 10 ] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

Это трансцендентное уравнение с одним неизвестным Т. Его решение удобно выполнять графически. После нахождения Г обязательна проверка выполнения условий переключения

signxii (0) = -singnr/i (+0), signal (Г/2) = - sign г/м (0), или в данном случае:

- 2 Sv Cv < О, или 2 [1 -th (sv Г/4)] < 0;

v= I v= I V

- V SvCvev/>0; -ll+th(svr/4)l>0.

v = I v = 1

в случае невыполнения условий переключения делаем вывод, что автоколебания искомой формы не существуют.

В данном примере сделанное в его начале предположение о том, что степень числителя Р передаточной функции линейной части меньше степени знаменателя Q, существенно. В самом деле, если линейная часть устойчива, то при одинаковых степенях Г и Q в момент переключения реле переменная х будет совершать скачок в том же направлении, в котором сработало реле, что приведет вследствие действия обратной связи к немедленному последующему включению реле после скачка в противоположном направлении. Таким образом, при равных степенях Р w Q условия переключения не будут соблюдены и автоколебания искомой формы не возникнут, зато при определенных условиях сможет возникнуть скользящий режим.

§ 7.6. Приближенное исследование автоколебаний. Метод эквивалентной линеаризации

Во многих динамических нелинейных системах периодические движения на выходе инерционной линейной части, возникли ли они в результате воздействия периодической, но не синусоидальной, внешней силы или же возбудились как автоколебания, оказываются близкими к синусоидальным. Это дает основание считать, что система обладает свойством низкочастотного фильтра, пропускающего без ослабления основную и существенно ослабляющего высшие гармонические. «Гипо-



теза фильтра», принимаемая по отношению к нелинейным системам с близкими к синусоидальным периодическими режимами, лежит в основе приближенных методов. По отношению к близким к синусоидальным автоколебательным режимам принимается другая гипотеза наряду с гипотезой фильтра - гипотеза «авторезонанса», или «порождаюш,ей системы». В самом деле, если нет вьшуждающ,ей периодической внешней силы, но автоколебания возникают, причем по форме они близки к колебаниям в линейных системах, то естественно предположить, что по отношению к периодическому режиму, наблюдаемому в нелинейной системе, последняя близка к линейной, в которой могут возбуждаться незатухающие колебания. Такую близкую линейную систему называют порождающей. Если порожда-щая система существует, то нелинейное дифференциальное уравнение может быть разложено на сумму линейного с чисто мнимыми корнями и нелинейного уравнения, которое обычно представляют как нелинейную функцию координаты и ее производных, умноженную на «малый параметр». При обращении малого параметра в нуль уравнение вырождается в порождающее линейное.

Для приближенного анализа периодических режимов Пуанкаре, Ван-дер-Полем и другими были разработаны методы. малого параметра, строго обоснованные для нелинейностей, выражаемых аналитическими функциями. Но в теории управления в большинстве случаев приходится иметь дело с неаналитическими, разрывными и неоднозначными нелинейностя-ми. Для таких систем получили распространение два типа приближенных методов: эквивалентной линеаризации и гармонического баланса. Для безынерционных нелинейных элементов обе эти группы методов по существу идентичны и дают совпадающие результаты.

Метод эквивалентной линеаризации в применении к однозначным безынерционным нелинейностям состоит в следующем. Пусть передаточная функция линейной части замкнутой системы (рис. 7.1)

• W (s) = К (s) ID (s). (7.28)

Если трактовать р как символ дифференцирования р = -dfdt, то дифференциальное уравнение замкнутой нелинейной системы

D{p)x + К (Р) f {х) = 0. (7.29)



Пусть/ (х) - однозначная функция. Заменим ее суммой линейной функции и «малого» нелинейного слагаемого;

/ (х) = сх + РФ (х). (7.30)

Выберем с так, чтобы уравнение

[D (р) + с/С (р)к = О, (7.31)

получающееся при ц -> О, было порождающим, т. е. имело бы чисто мнимые корни s.g = ± /й. Такую линеаризацию и называют эквивалентной (она не обязательно совпадает с линеаризацией посредством отбрасывания нелинейной части ряда Тейлора: сх может отличаться от линейного члена ряда, а ПФ (л:) может содержать и линейный член). Эквивалентную линеаризацию удавалось иногда успешно применять и в таких случаях, когда (х не являлась малой или когда функция / (л) не была аналитической и не разлагалась в ряд Тейлора. Б очень многих практических задачах при этом получалось удовлетворительное приближение к истинному решению, но строгого обоснования метода для таких задач в общем случае найти еще не удалось.

Периодическое решение уравнения (7.31) приближенно представляют так:

Хо (t) = Asm Qt. (7.32)

Выбор начала отсчета времени, при котором в решении строят только синусную составляющую, не снижает общности, если система стационарна. Амплитуда А пока не известна и не может быть найдена из линейного уравнения. Получим ее из нелинейного уравнения, воспользовавшись на этот раз гипотезой фильтра.

В соответствии с этой гипотезой высшими гармониками на выходе линейной части можно пренебречь и считать выход равным Хо (О- Тогда на вход нелинейного элемента поступает синусоидальный сигнал Хо (0. а выходная его величина будет

y(t)yo + А {g sin Ш -Ь b cos Ш). (7.33)



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [ 10 ] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0014