Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [ 110 ] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

Используя то, что а = а, если а - скалярное выражение уравнение (10.133) после подстановки квадратного трехчлена (10.134) преобразуют к виду

x(Q-KBR- ВКЧ-КА + АК)х-x5(KBR- Вр -

-А р~2Kh) - - р BR- В-р-f рзh= 4

= -(xK.x4-xp-+-q).

Приравняв в обеих частях полученного соотношения выражения при одинаковых степенях х, получим уравнения (10.123), (10.124), (10.127). Подставив квадратный трехчлен (10.134) в (10.132), получим оптимальный закон управления (10.122). Подставив его в (10.129), получим граничные условия

K(g = F; р(/Л=0; Q(t,)-0. (10.135)

Квадратный трехчлен (10.134), если К, р и д определяются из уравнений (10.123), (10.124) (10.127) при граничных условиях (10.135), является функцией Беллмана, причем эта функция является гладкой. Как легко проверить, выполняются все условия, при которых уравнение Беллмана является достаточным условием оптимальности, поэтому соотношения (10.122)-(10.125) действительно определяют оптимальный закон управления. Существование и единственность решения задачи синтеза оптимального нестационарного линейного регулятора состояния следует из существования и единственности решения уравнений (10.123), (10.124) при граничных условиях (10.125).

Осталось доказать равенство (10.126). Оно получается из определения функции Беллмана:

S{x,t)= min Lr(tj)F-A{tj)+ fVQx +

+ uRu)dTJ. (10.136)

Уравнение (10.123) называется матричным уравнением Риккати. Оно является нелинейным, и в общем случае его не удается решить аналитически, если даие матрицы А, В, R и Q постоянны. Уравнение (10.124) является линейным и может быть решено только после того, как будет получено решение уравнения (10.123).



Матричное уравнение Риккати можно решить численным методом или путем моделирования в обратном времени начиная с момента tf. При моделировании (решении на аналоговой ЭВМ) вводится новая независимая переменная т == - / и уравнение (10.123) и граничное условие (10.125) преобразуются к виду

iKA + A-K-KBR-BK + Q, 0<т/;

K(0)=F (К(т)=К(-т),...). (10.137)

Заметим, что в силу симметричности матрицы К уравнение (10.137) равносильно системе (п + 1) п12 скалярных дифференциальных уравнений.

Получим решение задачи синтеза оптимального нестационарного линейного регулятора состояния, когда внешнее воздействие h (t) = 0. В этом случае система из двух уравнений (10.124), (10.127) является однородной. Ее решением, удовлетворяющим нулевым граничным условиям, являются р (/) = О и 9 (О = О, поэтому при h (О = О оптимальный закон управления (10.122) принимает вид

и*=-R-» ВЗКх, (10.138)

где К - по-прежнему удовлетворяет матричному уравнению Риккати (10.123) при граничном условии (10.125). Соотношение (10.126), принимает вид

>

х (t) К (О X it) - х (tf) Fx {tf) -f f [х (т) Q, (1) X (т) Ч-

-f u*(T)R(T)u*(T)]<iT; (10.139)

Оптимальные стационарные линейные системы. Рассмотрим теперь задачу синтеза оптимальной системы при интегральном квадратичном критерии оптимальности, когда матрицы А, В, Q и R постоянны, h (/) = О и tf = оо. В этом случае л; (оо) = О и уравнение объекта и критерий оптимальности принимают вид

i=Ах -f Bu; J= ( (х Qx Л- Ru) dt.



Здесь принимается, что Q и R - положительно-определенные (п X п)- и (г X г)-матрицы соответственно. Требуется найти управление с обратной связью, при котором замкнутая система асимптотически устойчива и критерий оптимальности принимает минимальное значение. Эту задачу назовем задачей синтеза оптимального стационарного линейного регулятора состояния или коротко - стационарной задачей.

Решение стационарной задачи существует тогда и только тогда, когда пара (А, В) стабилизируема. Оптимальное управление является линейной функцией от фазовых координат и имеет вид

и*=-R- ВКх,

(10.140)

где К - постоянная положительно-определенная матрица, определяемая из так называемого алгебраического уравнения Риккати:

-КА-AK-bKBR- ВК-Q=0.

(10.141)

При оптимальном управлении для любого f > О справедливо равенство

x(OKxfO= j[x(T)Qx(T)-+-u*(T)Ru*(T)ldT. (10.142)

Уравнение (10.141) имеет не одно решение. Но решение, удовлетворяющее критерию Сильвестра положительной определенности матрицы К

11 •••

21 22

>о.....

h h

>0. (10.143)

единственно.

Соотношения (10.140)-(10.142) получаются точно так же, как и аналогичные соотношения при решении нестационарной задачи. Только в этом случае функция Беллмана отыскивается в виде квадратичной формы S (х) = хКх, где К - постоянная матрица.»

Следует иметь в виду, что если tf является конечным, то, хотя матрицы А, В, Q и R являются постоянными, матрица

К в оптимальном законе управления зависит от времени и находится из дифференциального уравнения Риккати.



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [ 110 ] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0011