Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [ 111 ] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

Покажем, что стабилизируемость является необходимым и достаточным условием существования решения задачи синтеза оптимального стационарного линейного регулятора состояния. Необходимость очевидна. Действительно, стабилизируемость означает, что неуправляемая составляющая Xj, О при оо. Если это условие не выполняется, то фазовый вектор замкнутой системы при Xj О не будет с течением времени стремиться к нулю, так как управление и соответственно присоединение регулятора к объекту никакого влияния на неуправляемую составляющую Xj не оказывают.

Чтобы доказать достаточность, нужно показать, что существует положительно-определенная симметричная матрица, удовлетворяющая алгебраическому уравнению Риккати, и что замкнутая система асимптотически устойчива. Представим критерий оптимальности в виде

У= lim f (xQx-f uRu). При конечном tf a F = 0 имеем [см. (10.136) и (10.139)1 S{\.t;tf)\r(t)K{t)X(0 = J (xQx + u*Ru*)dx =

- .

= min Г (xQx-fuRu)dT. (10.144)

«(T),<<:x<fj .

Функция Беллмана S (x, /; tf) при фиксированных f и x является функцией от tf, причем функцией монотонно неубывающей. Действительно, если t{ > tf> t, то

/?(х,/;П f (xQx-f u*Ru*)dT-b j (xQx-f

-hu*Ru*)dT> j (xQx + u*Ru*)dT=S(x,/; ), . t

так как под интегралом стоит неотрицательное выражение.

Покажем, что функция ограничена сверху. Так как объект стабилизируем, существует управление с обратной связью, при котором замкнутая система асимптотически устойчива.



При таком управлении выражение под знаком минимума в (10.144) сходится к конечному пределу при tf- оо. Очевидно, этот предел является верхней границей функции S (х, t; tj). Таким образом, S (х, t; tj) как функция от tj является монотонно неубывающей и ограниченной функцией. Следовательно, существует предел этой функции при tj- оо. Из равенства

S(x,t;tj)=x{t)K{t)x{t).

где справа от tj зависит только К {t), следует, что существует предел функции К (/) при -> оо, причем этот предел, который обозначим Кп, не зависит от F, т. е. от граничного условия К {tj) = F:

(О Кп X(0= lim f (хQx + и* Ru*) йт= = 1 im (х {tj) Fx (tj) + ({x Qx + u* Ru*) dx

=J (xQx + u*5RH*)dT, (10.145)

так как x {tf) 0 при tj->- oo. Из этого равенства также следует, что матрица Кп. являющаяся единственным установившимся решением дифференциального уравнения Риккати, положительно определена, так как положительно определены матрицы Q и R. Из (10.142) и (10.145) имеем

х(ОК„х(0=х(ОКх(0.

откуда получаем К = К. Таким образом, К является единственной положительно-определенной матрицей, удовлетворяющей алгебраическому уравнению Риккати.

Асимптотическая устойчивость замкнутой системы, по существу, доказана. Докажем ее еще с помощью прямого метода Ляпунова. Подставив управление (10.140) в уравнение объекта, получим уравнение замкнутой системы

х=(А-BR-BK)x. (10.146)



Покажем, что функция Беллмана является функвдей Ляпунова для замкнутой системы. Функция S (х) == хКх, как было показано, является положительно-определенной. Ее полная производная по времени, вычисленная в силу (10.146), равна

d5/A = xKx-f xKx=x-(AK-f KA-2KBR- ВК)х.

или с учетом алгебраического уравнения Риккати

dS/*=-x(KBR- B5R-fQ)x.

Матрица KBR-BK является неотрицательно-определенной. Действительно, так как R и соответственно R- положительно определены, то zR-z > О при произвольных г. Поэтому, если положить z = ВКх, то xKBR-BKx > 0. Матрица Q положительно определена по условию. Следовательно, производная dSldt является отрицательно-определенной.

Пример 10.20. Jci = Xj; k-u; У= (x\-{-q х\-\-гu)dl; fl > 0;

/• > 0.

В данном случае

h::)--(::)-=(;)-"G:)-

в соответствии с (10.140) имеем

-(0 1)(" , + ft...).

где коэффициенты кц должны удовлетворять уравнению (10.141):

-(::::::)(:;)-аш:::)-(;:;")(°)"-

(feliftlallo J(oo) или равносильной ему системе

fe?/r.-l = 0: - fe„ + fei2*22/ = 0; -2 fe,2-f fei,A-<? = 0.

которая имеет решения

fe,3= ± УГ; fe,,= ±Уг(9 + 2Й1з): fe„ =fei2 Кг1г-



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [ 111 ] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0041