Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [ 112 ] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

Условию (10.143) удовлетворяет решение:

В этом случае

Xi+k,2 хУ,

-2feii + feJ,-l=0; -2ofej,+ fe„fe„ = 0; -2о *f 1 = 0. Последние уравнения имеют решения

Лп = 1 ± Т/2; fe,s = 0; fc2j=-l/(2o).

Чтобы Матрица К была положительно-определенной, необходимо выполнить неравенства > О, fejg > О, но последнее из неравенств соблюдается, если а < 0. При а > О задача не имеет решения. Это связано с тем, что объект неуправляем, и поэтому решение существует только при условии, что неуправляемая координата - в данном случае Xj - асимптотически устойчива, что и имеет место при а < 0.

Синтез оптимального линейного регулятора выхода. Рассмотрим систему

x=Ax + Bu-bh; (10.147)

у=Сх, (10.148)

где (10.147) - уравнение объекта, (10.148) - уравнение наблюдения, и критерий оптимальности

Jxt,)Fx(t,)+ J vyQy-t-uRu)d/. (10.149)

Здесь h - известная векторная функция времени; F - неотрицательно-определенная матрица; Q и R - положительно-определенные матрицы, зависящие в общем случае от времени. Матрицы А, В, С, Q, R как функции от времени предполагаются непрерывными на интервале Uo. Требуется определить управление с обратной связью, при котором критерий оптимальности принимает минимальное значение. Эту за- дачу назовем задачей синтеза оптимального линейного регулятора выхода, причем если конечно, то назовем задачей син- теза оптимального нестационарного линейного регулятора вы-, хода или коротко - нестационарной задачей выхода; если

Пример. 10.21. x,=Xj + u;x2 = oX2; J =• (xl+xl+ и) dt.



ь = оо и матрицы А, В, С, Q, R постоянны, то назовем задачей синтеза оптимального стационарного линейного регулятора выхода или коротко - стационарной задачей выхода. В стационарной задаче выхода дополнительно требуется, чтобы замкнутая система была асимптотически устойчива.

Задача синтеза оптимального линейного регулятора выхода отличается от рассмотренной задачи синтеза оптимального линейного регулятора состояния тем, что в критерии оптимальности (10.149) входит интегральная квадратичная ошибка выходного (наблюдаемого) вектора, а не вектора состояния, и условие задачи дополняется уравнением наблюдения.

Подставив выражение (10.148) для выходного вектора в функционал (10.149), получим

J=xT{ti)?x(t,)+ f (xC7QCx + uRu)d (10.150)

«у

«о

Таким образом, формально приходим к задаче синтеза оптимального линейного регулятора состояния (10.147), (10.150). Отличие этой задачи от ранее рассмотренной заключается в том, что .здесь роль матрицы Q играет произведение CQC, поэтому решение задачи синтеза оптимального нестационарного линейного регулятора выхода совпадает с решением (10.122)-(10.125) задачи синтеза оптимального нестационарного линейного регулятора состояния при условии, что в матричном уравнении Риккати Q = CQ С. И решение существует и единственно независимо от свойств стабилизируемости и обнаруживаемости системы. Существование и единственность решения следует из существования и единственности решения уравнений (10.123), (10.124) при граничных условиях (10.125).

Решение задачи синтеза оптимального стационарного линейного регулятора выхода совпадает с решением (10.140), (10.141) задачи синтеза оптимального стационарного линейного регулятора состояния при условии, что в алгебраическом уравнении Риккати Q = CQ С. Это решение существует и единственно в том и только в том случае, если система (10.147), (10.148) стабилизируема и обнаруживаема [10].

На строгом доказательстве последнего утверждения останавливаться не будем. Ограничимся общими рассуждениями. Так как на неуправляемые координаты воздействовать нельзя, для возможности решения задачи синтеза асимптотически устойчивой системы необходимо, чтобы они стремились со вре-



менем к нулю. Точно так же, нельзя воздействовать должным образом на невосстанавливаемые координаты, так как неизвестно, как они изменяются. Поэтому необходимо, чтобы они также стремились со временем к нулю (обнаруживаемость). То, что обнаруживаемость и восстанавливаемость являются достаточным условием существования решения, следует из того, что всегда можно выбрать такое управление с обратной связью, при котором восстанавливаемые и управляемые координаты стремятся асимптотически к нулю.

Теперь рассмотрим алгебраическое уравнение Риккати

АК-ЬКА -KBR- BK-f-CQC-O, (10.151)

которое необходимо решить, чтобы определить оптимальный закон управления в задаче синтеза регулятора выхода. Матрица CQ С в общем случае является неотрицательно-определенной, хотя матрица Q положительно определена. Очевидно, она является положительно-определенной в том и только в том случае, если у = О только при х = 0.

В том случае, когда матрица CQC не является положительно-определенной, искомым решением уравнения (10.151), т. е. решением, определяющим оптимальный закон управления, может быть неотрицательно-определенная матрица. При этом уравнение (10.151) не имеет решения, которое было бы положительно-определенной матрицей. Как увидим на примере, из того, что матрица CQC не является положительно-определенной, не следует, что и искомое решение уравнения (1G.151) также не является положительно-определенной матрицей. Можно показать [10], что искомое решение (10.151) является положительно-определенной матрицей в том и только в том случае, если система (10.147), (10.148) вполне восстанавливаема.

Таким образом, если уравнение (10.151) не имеет положительно-определенного решения, т. е. решения, которое является положительно-определенной матрицей, следует искать неотрицательно-определенное решение.

Критерий неотрицательной определенности. Дш того чтобы симметричная матрица К была неотрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры определителя det К (т. е. все миноры, получающиеся из этого определителя вычеркиванием строк и столбцов с одними и теми же номерами, или, иначе говоря, все



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [ 112 ] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0021