Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [ 113 ] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

миноры, симметричные относительно главной диагонали этого определителя) были неотрицательны.

Пример 10.22. Xi = Xa, х = и. y = Xi. У = J (у+и) dt.

в данном случае

/О I V / О \

=(oo)=(i)= = (°)«-== • . .

Алгсбранчсскос уравнеинс Риккати имеет вид

I Лп ft2 / V о Al 121*22 ftl2 iU О/ •

.. или в скалярной форме

-fef2+I=0; ftji, = 0; 2й,з-А;5,=0. .

Оно имеет положительно-определенное решение • . . feu = V2; 12=21=1; 22 = 1/2.

хотя матрица CQC не является положительно-определенной.

Метод решения алгебраического уравнения Риккати. Алгебраическое уравнение Риккати является нелинейным, и в общем случае аналитически решить его не удается. Как было показано, решение этого уравнения совпадает с установившимся решением (дифференциального) матричного уравнения Риккати. Поэтому один из возможных способов его решения основан на нахождении установившегося решения матричного уравнения Риккати (10.137), записанного в обратном времени, при начальном условии К (0) == F, где F - произвольная неотрицательно-определенная симметричная матрица.

Рассмотрим еще численный метод Ньютона-Рафсона [10]. Запишем алгебраическое уравнение Риккати в виде

KA-f AK-KSK + Q = 0,

где S = BR- В; Q - в общем случае неотрицательно-определенная матрица (в частности, она может быть равна CQC). Введем матричную функцию

. F(K)=KA-f АК-KSK-f Q.



Задача заключается в том, чтобы определить неотрицательно-определенную матрицу К, удовлетворяющую условию F (К) = = 0. Построим итерационную процедуру. Пусть К< - решение, которое получается на i-м шаге. Положим

К(+«) = к<о+дк. (10.152)

Предполагая, что ДК является малой величиной, и пренебрегая квадратичным относительно ДК членом, получим

F (К< + •)) = Р (К<>) -Ь ДК (А-SK<>) + (А-К<> S) ДК.

Приравняв правую часть нулю, получим линейное уравнение

F (К<>) -Ь ДК (А-SK<>) + (А»- -К<) S) АК=0.

откуда находится ДК.

Таким образом, имеем следующую итерационную процедуру:

а) вначале полагается i = О и выбирается К*°>;

б) из последнего уравнения находится ДК;

в) если ДК не превышает допустимой ошибки (допустимая ошибка задается), то итерационная процедура заканчивается; в противном случае увеличивается i на единицу и по формуле (10.152) вычисляется К<\ соответствующее новому значению а затем происходит возврат к п. б).

Процедура сходится, если правильно выбрать начальное приближение К<° Справедливо следующее утверждение 1101: если алгебраическое уравнение Риккати имеет единственное неотрицательно-определенное решение, то

К"+><К<), i=0,l,2.....и ИтК() = К

при условии, что начальное приближение К" выбрано таким образом, что матрица А - SK" асимптотически устойчива (т. е. ее собственные значения имеют отрицательные вещественные части).

Если начальное приближение выбрано неудачно, то может наблюдаться сходимость к произвольному решению алгебраического уравнения Риккати или вообще не сходится. Если матрица А асимптотически устойчива, то целесообразно принять К" = 0.

Метод прогонки решения задачи синтеза оптим1альной линейной системы. Выше задача синтеза оптимальной линейной системы (при Л = 0) методом динамического программирования была сведе-



на к решению матричного уравнения Риккати. Здесь рассматривается еще один метод решения этой задачи, основанной на вариационном методе и прогонке (переносе) граничных условий с одного конца на другой. Этот метод, как увидим на примере, иногда позволяет получить аналитическое выражение для оптимального закона управления и тогда, когда матричное уравнение Риккати аналитически решить не удается.

Итак, рассмотрим задачу синтеза оптимальной линейной системы при условии, что уравнение объекта, граничные условия и критерий оптимальности имеют следующий вид:

x=Ax + Bu; x(g=x"; У=

x-( )Fx(/) +

+ j (xQx + uRu)dM.

Здесь для удобства в качестве критерия оптимальности принят функционал (10.121), поделенный на два. Это, очевидно, не должно сказаться на решении задачи, т. е. на оптимальном законе управления.

Составим гамильтониан (принимаем яро = -1):

Я= --i-(х" Qx-Ь Ru)я)) (Ах 4-Ви). Найдем уравнения Эйлера-Лагранжа:

i-ILYQx-Ai; -u-R + lJB-O. \ дх I ди

Из последнего уравнения

u=R-B4l3. (10.153)

Подставив это выражение, запишем уравнение объекта совместно с первым уравнением Эйлера-Лагранжа:

/i\ /ABR-B\ / х\ • /х \ /А BR-B\

(10.154)



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [ 113 ] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0011