Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [ 117 ] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

x{t)

Подставив это выражение в (10.172) и используя принцип • оптимальности, получим

Slx(t).i]= min \to(x{t),u{t),t)At + o{At) +

+ min M Ho так как

x{t + At}

x(0 .

min MM ( ( fgdx + g} j x{t+At) •/x (/)

x(/]

min M

\ f„dx + go

xit+At)

= M IS {x{t + At),t + At)/x{t)\,

S(x{t), i) min {/o(x(0. u(n, ОД + о(АО +

+ IlSix{t + At), t + At)/x{t}]}. (10.173)

Представим (10.166) в виде разностного уравнения Г:\ Axi =fiAt-JrVoiAt+o(At}, i = l,2, ... , п. (10.174)

Если Vo (О - белый шум с характеристиками (10.167), то по определению белого шума (О = Vo (О At является случайным процессом с характеристиками

М Д lit) - О, М AUt) Amt) = Qoit)At.



Моменты более высокого порядка являются малыми величинами более высокого порядка, чем Л, поэтому из (10.174) имеем:

М {Axi/xU)} =/,(х, U, i)At Ч- М At/x{t)}=fiAt;

М {Axi, Axj/x(f)} = М {{fi At + VAt) (JiAt +

+ VjAt/x{t)} +o{At)qij{t)At +o{Aty,

M {Axi Axj Axi/x{t)} = о {At), ....

Разлагая S [x {t + At), t+ At]B ряд в точке [x {t), t] и используя последние соотношения, получим

M{S[x(f+Д0. t+AtVx{t)}Slx{t), t] +

Подставив это выражение для М {S Ix {t + At), t -f ДЛ/х()}, из (10.173) предельным переходом при Д/->0 получаем (10.169).

„ Граничное условие (10.170) получается непосредственно из определения функции Беллмана.

Синтез стохастической оптимальной

линейной системы при полной • . . , . . ,

информации о состоянии ....

Рассмотрим стохастическую задачу оптимального управления при линейном объекте, квадратичном критерии и полной информации о состоянии системы:

X =A(0x + B(0u + Vo; х(/о)=х«; (10.175)

J = М (х" ( ) F х( ) + 5 (х- Q (т)х + ит R(T)u) dx} -> min.

(10.176)

Здесь Vo - белый шум с характеристиками <

М Vo = 0; М {Vo (О \1 (t)} = Q„ (/) б (t- ty, (Ю. 177)

х" - случайная величина с характеристиками

М X» х"; М {х« -х") (х»-xY) = Ро; (10.178>

F,,Q- неотрицательногопределенные симметричные матрицы; R -положительно-определенная симметричная матрица.



Задача заключается в определении -оптимального закона управления. Критерий оптимальности (10.176) имеет такой же смысл, что и критерий оптимальности (10.121) в детерминированной задаче оптимального управления. Здесь только производится усреднение по всем случайным факторам.

Решение этой задачи совпадает с решением ( 0.138),(10.123), (10.125) детерминированной задачи (10.120), (10.121) при h{t) =

= 0-

Оптимальное управление

и*[х(0, /l = -R-BKx(0. (10.179)

где симметричная матрица К определяется из матричного уравнения Риккати

К = -КА-AK-f KBR-iB"K-Q (10.180)

при граничном условии

K( )==F. (10.181)

Таким образом, случайное воздействие Vo и случайное начальное условие на оптимальный закон управления не влияют. Они сказываются только на значении критерия оптимальности: оно, естественно, увеличивается. При оптимальном управлении критерий оптимальности (10.176) принимает следующее значение:

JxoT K(g х" + tr [К (/о)Ро+ Y J Qo К dt]. (10.182)

Для получения решения (10.179)-(10.181) воспользуемся методом динамического программирования. Уравнения (10.171) в данном случае принимают вид

dS dt

2u-rR + 8=0. дк

Из второго уравнения полученной системы



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [ 117 ] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0011