Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [ 11 ] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

Коэффициенты g и b при основной гармонике и Уо находят по формулам Фурье, так как (7.33) есть часть ряда Фурье:

g= - Г /(Л Sin Я))) sin фя!);

• 1" /(Л51п11))с05»1)£г»1);

= -1 /(sin.4l,)d,

(7.34)

где; ф =

При симметричных нелинейных характеристиках, проходящих через начало координат, величина у„ равна нулю. Ограничимся в основном рассмотрением только таких характеристик. Далее, так как f {х) однозначна,, то у (/) совпадает по фазесХо (О й, в соответствии с (7.32) не содержит косинусных составляющих, т. е.

. • . . !• •. •& as а. • (7.35)

" Так как высшие гармоники, пройдя через линейную часть, в соответствии с гипотезой фильтра практически исчезнут и на вход нелинейного элемента не пройдут, то при нахождении х мы их можем не принимать во внимание и подставить в уравнение (7.29) только X = А sin Q/ и г/ = g-Л sin Ш. При этом

у (/) = gx it) = сх li).

Таким образом, коэффициент с эквивалентной линеаризации равен g. Так как g (Л) - функция амплитуды Л, характеристика f {х) в результате линеаризации заместилась пучком прямых, проходящих через иачало координат и имеюпйх наклоны, различные для разных Л. Из пучка надлежит выбрать ту прямую, при которой уравнение (7.31) становится порождающим с частотой решения, равной частоте автоколебаний; Подставляя в (7.31) р = /й, получим

Л. . D{jQ) + g{A)KU9) = 0,

откуда , , :

g (Л) = -D ijQ)/K (/fi) = - l/r (/Q) =

= -G(/fi). (7.36)



G (jQ) - это обратная амплитудно-фазовая характеристика линейной части. Так как g {А) в рассматривае МОМ случае - действительное число, то частота Q определяется точкой пересечения характеристики - G (jQ) с действительной осью. Приравняв -g{A) длине отрезка от начала координат до пересечения - G (/Q) с действительной осью, получим уравнение, из которого можно найти А. Но в общем случае эту задачу удобнее решать графоаналитически. Один из методов графоаналитического решения рассмотрен в следующем параграфе. Если характеристика / {х) неоднозначна, то b отличен от нуля, в выражении (7.33) присутствует косинусная составляющая и выразить у = f (х) как линейную функцию х с действительным коэффициентом нельзя. Заменив в (7.33) х и у относительными переменными = sin Ш = х/А, г] = cos Qt = у/А, после несложных преобразований получим

Рис. 7.33

{g + y)l+rf-2glr]-b = 0.

Это уравнение эллипса, пересекающего ось в точках о= = ± b/{g + b), а ось т] в точках = ± 6. С помощью этого эллипса можно определить значения g я b из опыта. Например, сняв на осциллографе в осях , ц гистерезисную петлю при воздействии на вход синусоидального напряжения, заменим ее приближенно эллипсом, проходящим через точки пересечения петли с осями координат (рис. 7.33). Из приведенных выше соотношений найдем

Поскольку линеаризация / (х) посредством функции сх в данном случае невозможна, то порождающего решения в указанном выше смысле не существует.

Но для установившегося периодического движения эквивалентную линеаризацию дифференциального уравнения все же можно формально выполнить, если аппроксимировать / (х) линейной функцией не только х, но и его производной по вре-



мени. Так, в литературе получил широкое распространение следуюш.чй способ линеаризации. Представим у в виде

у gA sin Qt + {biQ) d {A sin Qt)ldt - {g Ч- bplQ) x.

Тогда (7.29) с учетом, что у = / (х), можно привести к виду

[D (р) ] К (р) {g + bp/Q)] хО. (7.37)

Поскольку (7.32) удовлетворяет этому уравнению, то характеристическое уравнение последнего имеет пару чисто мнимых корней ± /Q и уравнение (7.37) можно в этом смысле назвать порождающим. Но таких «порождающих» уравнений можно написать бесчисленное множество, поскольку «линеаризующих» уравнений нелинейного элемента

dip) У -К ip) X, (7.38)

которым удовлетворяли бы соотношения (7.32) и (7.33) также существует бесконечно много. Для этого достаточно выбирать коэ(1х1)ициенты полиномов d (р) и К (р) так, чтобы соблюдались равенства

gd, - = k,; gd + Ml - /г„ (7.39)

d, = Red(/Q), 2 = Im d (/fi), = Re fe (/Q), fe2=Im/C(/fi).

Так, например, пусть нелинейный элемент замещается звеном второго порядка с передаточной функцией

\F„,3 (S) = К (TS + 1)/ [TW + T,s -fl).

Для данной функции dj = 1-Qrf, = QT, fe = К., fea = Яйт. Подставляя последние выражения в (7.39), получим

g{\ -QT,)-bQT,K, gQT + b(l - QT])-=QKx-

Для нахождения четырех неизвестных К, т, Т\ и Т, имея два уравнения, двумя параметрами задаемся произвольно, а из уравнений находим два остальные.

Подстановка (7.38) в (7.29) дает «порождающее» уравнение

Ю (р) d (р) + К (р) k {р)]х 0.



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [ 11 ] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0014