Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [ 120 ] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

Используя (10.201), получим

М [ х (to) x (/о) -х"] = М {х (Q X X [х(д-х]Г= х(?о) Pox(U.

Кроме того,

М I х (т) V„ (т) -й (т) V„jt)] [х (т) V„ (т) -

- (т) V„ (x)J\ = {F (О Q„ (т) X(т) -

- ut) (т) x (т) - х"" (т) So (т) u (т) +

+ U"(t)Ro(t)u(t)J6(t-t).

Поэтому

~ » „ ~

J = x(fo)PoX(/o) + j(xQoX-urSx-xSou + urRoU)dT.

Преобразуем подынтегральное выражение следующим образом:

FQo X -u-SX-ZSoU + uRoU =xQoX + + (u--R- Sxf Ro(u-R„- S[x)-xSoR- Sx.

Введя обозначение

u=u-R->Sx; Q;=Qo-SoR-*S. (10.202)

выражение для 7 можно представить в виде

7 = х""(/о) Ро X(/о) + J(х"" Qo зГ+и-Rou)dT.

Уравнение (10.199) преобразуется к виду J= -Ах+Си,

A=A-CR-S = (A-SoR-C). (10.203) Если положить h=-to+ /i; X (О == z (ti-1)\ u (0 ~v{ti-t);

a (0 == A (<2 -0; С (0 - С (fa- ty, q; (0 ==00 (tz -f); Ro(0=Ro(*8-0



и ввести новую независимую переменную к = - t, уравнение и граничное условие для х и выражение для J преобразуются к виду

7 = z (tl) P„z{tl) +{zTQoZ + Ro v)dk.

(10.204)

Таким образом, задача линейного оптимального оценивания свелась к задаче оптимального управления (10.204), где нужно найти «управление» v, минимизирующее критерий J. Задача (10.204) эквивалентна задаче оптимального управления (10.120), (10.121) при h it) = О, причем между матрицами, входящими в условия этих задач, имеется следующее соответствие:

Используя решение задачи (10.120), (10.121) при /г = О, получим [см. (10.138)1

V=R-CPZ,

где Р определяется из уравнения [см. (10.123), (10.125)]

dP/dk = -РА- АР + РСR- СР -Qo, Р (ti) = Ро. "

Возвращаясь к независимой переменной t, полученное соотношение можно записать следующим образом (заметим, что P{t) P{t-~t) iiP = ~dP/dk): , .

u=R;CPx; P = PA + AP-pcr-cp + + q:; P(g = Po.

принимая BO внимание обозначения (10.202) и (10.203), получаем:

йКО-х; K« = (PC + So)R- (10.205)

Р -Р (А -So Ro- С) 4 (А-So Ro- С) Р- РС R- СР -f

+ Q0-S0 Ro- S; Р (g = Ро- (10.206)



Итак, установлено, что соотношение (10.197) определяет несмеш,енную оптимальную оценку х (t), если весовая функция U (/) удовлетворяет (10.205), (10.206), а постоянный вектор b - условию (10.201). Выражение для К" из (10.205) и уравнение (10.206) совпадают с (10.193) и (10.194) соответственно. Следовательно, остается доказать, что оценка, определяемая из соотношения (10.197), после подстановки в него весовой функции U (/) из (10.205) удовлетворяет уравнению (10.192)-

Подставив выражение для и из (10.205) в (10.199), получим

х = .-(А-СКОх. (10.207)

[е матричного уравнения = (А-KC)Z(/, г) (10.208)

Пусть Z (t, т) - решение матричного уравнения dZ{i. т)

при единичном начальном условии

Тогда (см. § 8.2) решение уравнения (10.207)

и в силу (10.200) и (10.201)

x{t)=Zr(t,t)a; (10.209)

b = x(/o) = Z4/i, о)а. (10.210) Из (10.205) и (10.209) имеем

u{t)=K°{t)Zr{t„ t)a.

При подстановке этого выражения и выражения (10.210) соотношение (10.197) при ti= t преобразуется к виду /

аг X (О = f а Z (t, т) К" (т) у (т) + а" Z {t, t) Хо,

откуда следует, что оценка

X (О = J Z {t, т) К» (т) у (т) dx -f Z (t, (10.211)



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [ 120 ] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.001