Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [ 123 ] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

Модель системы

Рис. 10.8

lyCl-1 I

Модель формирователя

x\ - случайная величина с характеристиками MjcS=0; MUS)2 = Po-Требуется найти оптимальную оценку по наблюдению:

где Vn - белый шум с интенсивностью г.

Шумы Ха, lH и случайная величина xj не коррелированы между собой.

Путем преобразования Фурье от корреляционной функции находим спектральную плотность шума объекта:

S((o)==-- = -- .

откуда для передаточной функции формирователя получаем

«ф(р)-1/(рЫ)-

Следовательно, уравнение формирователя имеет вид

Хя = -Хг + Vo,

где 10- белый шум с нулевым средним и единичной иитенсивиостью. Наблюдатель Калмана - Бьюси описывается уравнениями

xi=xg + fei(-Xl); х,(;о) = 0; = -2 + --i); Со) = О.

ki = Pii/ro; fe2 = P2i/o. Дисперсионное уравнение имеет следующий вид:

/О 1\{р„ Pii\ Ipii РаЛ/0 0\ 1о - l/lpzi Ргг) Ipai Ра Л -/

\Р21 Ргя/



или в скалярной форме

Pii = 2psi-- pfi; P2i = P22 -Р21-- Р21.

Р22= -2Р22 -+

При записи скалярных уравнений использована симметричность дисперсионной матрицы (pjg = Рп). Начальные условия имеют вид

Рц (to) = Pi). Р21, (М = 0. Р22 Со) = 1/2.

Наблюдатель Калмана-Бьюси при цветном шуме наблюдения. Пусть объект и наблюдение описываются уравнениями

xAx-i-Bu-hV„; x(g = x«, (10.220;

y = Cx + z. (10.221)

Здесь V„ - белый шум с интенсивностью Qo(/); случайный вектор х" имеет характеристики

Мх (tg) хо. м I [х (д -х"! [х (/о) -х"! П = Ро;

шум наблюдения z подчиняется уравнению

z = Dz + w, (10.222)

где W - белый шум с интенсивностью Rq > 0.

Шумы Vq и W не коррелированы со случайным вектором х", но могут быть коррелированы между собой:

М {V„ (О (П) = S (О б (/- Г); S (О > 0.

Задача линейного оптимального оценивания с цветным шумом наблюдения решается также преобразованием ее в задачу линейного оптимального оценивания с белыми шумами.

Из (10.221)-(10.222) получаем

y = Cx + z = (C + CA)x +CBu + D-bCV„ + w. Введем новый вектор наблюдения

у = у-СВи-Dy. (10.223)

После подстановки выражений для у и у получим

y=Cx + V„, (10.224)

С = С + СА -DC; V„ =CV„ + w. (10.225)



в преобразованном уравнении наблюдения (10.224) шум V„ является белым. Его будем называть обобщенным шумом наблюдения. Как легко показать, его интенсивность Ro (О и взаимная интенсивность So (t) (шумы и V„ коррелированы и в том случае, когда шумы Vq и w не коррелированы) определяются следующим образом:

Ro=CQoC+S"cVCS+Ro; S„=QoC + S. (10.226)

Предположим, что матрица Ro не вырождена. Тогда наблюдатель Калмана-Бьюси описывается соотношениями (10.192)-(10.194), где матрицы С, Ro и So определяются нз (10.225) и (10.226). Вектор наблюдения у вычисляется по

(10.223). В (10.223) входит производная у, которая может быть получена дифференцированием измеряемой переменной у. Однако такая операция нежелательна, так как дифференцирование повышает уровень помех. Чтобы избежать дифференцирования, нужно произвести дальнейшее преобразование. Введем вектор х, определяемый соотношением

?(0 = х(0 + Ку(0- (10.227)

Продифференцировав это соотношение по времени и под-

ставив выражения для х из (10.192) и для у из (10.223), получим

X = (А - К° С) 7+ (В - К" СВ) U -(К" + К" D) у, или, принимая во внимание (10.227),

X = (А- К" С) X + (В- К» СВ) U -ь ((А - К" С) х

X K-k-K-Diy, x(g = xo-K>(gy(g. (10.228)

в последнее уравнение производная у не входит. Из него сначала вычисляется х, а затем из (10.227) находится искомая оценка.

Пример 10.26. Пусть объект и наб.чюдение описываются скалярными уравнениями л; = 0; у=- х + z; Мх (0) = 0; М [л (0)] = ро-Шум наблюдения имеет следующие характеристики:

Мг = 0; М{г(0г(/ + т)}=е-/2.



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [ 123 ] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0015