Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [ 125 ] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

Для линейной оптимальной оценки q имеем:

=Aq+ii + K«(y-C); (10.243)

K = (PC+So)R5-; (А-SoRo С) Р + Р(А- SoRo С)-- Р R J С Р + Qo - So КБ- * SI В данном случае не просто определить начальные значе-тя ц (to) и Р (to)- Простейший путь - это принять х (to) = = Хо, т. е. игнорировать начальное измерение у<> (to). Тогда из (10.132) имеем

q(g = C2x>; p(g=C2PoC7.

Для определения составляющей у<> вектора наблюдения унеобходимо, как это следует из (10.239), вычислять производную у<>. Путем дальнейших преобразований можно избежать вычисления этой производной [101.

Пример 10.27. Рассмотрим сингулярную задачу линейного оптимального оцеииваиия при следующих исходных даииых;

yi = Xi+V„; уХг. Мх (/„) = 0; Mxf (to) = Poi. = 1.2, М{х,(/„)хг(/о)}=0.

Шумы объекта Voa и наблюдения Vh являются белыми с интеисив-ностями и г„ соответственно. Шумы не коррелированы между собой и с вектором начального состояния. В данной случае в принятых выше обозначениях имеем:

А== (° J); В= ( ° ): Ci = (l 0); с2 = (0 1); yWy; уу-

, Примем С = (1 0). Тогда 9=Cjx = x,. " ,

Из равенства

получаем Lx -



Из (10.237)-(10.240), (10.242) имеем: А = 0; й = у2\ y<*> = i; =1; у- = У2-и; с = 0; у =

\у()

:f=(:).o.=o-.(-;j=o.

Соотношение (10.243) принимает вид

Я =У2+киУ1-ч)+ЫУа~и); ki = p/ri: 2=0: рр/гц. Для искомой оценки из (10.235) получаем JCj = =

Линеаризованный наблюдатель Калмана-Бьюси. Рассмотрим алгоритмы оценивания фазовых векторов нелинейных систем, основанные на линеаризации. Пусть объект и наблюдение описываются уравнениями вида

x = f(x,u. 0 + Vo; x(g-x»; y=g(x./) + V„.

Шумы и случайный вектор х" не коррелированы между собой и обладают следующими характеристиками:

Мхх»; М{(х-хО)(хО-xY} = Po; Ро>0; - MV„=0; M{V„(t)Vl(t)}Qo{t)b{t-t);QoO;

MV„=o; M{v„(ov(0}=Ro(06(-n; Ro>o.

произведя линеаризацию относительно некоторой траектории X* (t), получим

X - f (X*, U. О + (-) (х-х*) + V„;

y = gix*. 0-f(--)(x-x*)-fV„

где индекс О при производной означает, что она вычисляется в точке X = X*.

Учитывая, что наблюдатель Калмана-Бьюси состоит из модели системы и обратной связи по невязке, можно записать:

1 == f (Я U, О -f к° (У-g (х 01: х(д=X (д;

(10.244)



. Здесь в уравнении для оценки применяется точная модель системы. Линеаризованная модель используется при вычислении матрицы коэффициентов усиления и дисперсионной матрицы.

Теперь остановимся на выборе траектории х* (t), относительно которой производится линеаризация. В качестве траектории можно принять номинальную траекторию, которая выбирается до начала процесса получения оценки. Такой способ удобен тем, что производные и соответственно матрицу коэффициентов усиления можно вычислить заранее. Это важно, когда нужно получать оценку в реальном масштабе времени. Его недостаток состоит в тем, что при неудачном выборе номинальной траектории (траектории х* (/) и х (t) сильно отличаются) возможны большие погрешности в оценке. А чтобы выбрать траекторию х* (t), близкую х {t), нужна большая априорная информация. Указанного недостатка лишен расширенный фильтр Калмана-Бьюси [191. Так называется наблюдатель (10.244), если линеаризация производится относительно

,-»

точки X (/), т. е. в качестве траектории х* (/) принимается оценка. Недостатком этого наблюдателя является то, что матрицу коэффициентов усиления заранее вычислить нельзя и возникают трудности получения оценки в реальном масштабе времени из-за увеличения объема вычисления в процессе получения оценки. Еще большей точности можно добиться, если использовать итерационный фильтр Калмана-Бьюси [19], • Так называется наблюдатель (10.244), если после линеаризации относительно номинальной траектории и получения оцен-

ки X (/) вновь производится линеаризация относительно х (Q

и получается новая уточненная оценка х<> {t\. Эта процедура продолжается до тех пор, пока изменение оценки не станет малым. Недостаток итерационного фильтра Калмана-Бьюси очевиден - большой объем вычислений.

пример 10.28. Самолет летит на постоянной высоте с постоянной скоростью V. Измеряется угол в направления на радиомаяк М (рис. 10.9). Требуется определить высоту и дальность в текущий момент времени. Имеем:

v., xj = 0; 1/ = е = arctg -+V„; Мх, (О) = 1о\ Мх, (0) = /1». M{Ix(/,)-x«]fx(/e)-x<J)=Pe, MV„ = 0; MV„(OKh(<*)



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [ 125 ] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0012