Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [ 127 ] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

где Qn дисперсионная матрица ошибки (Qn = Р); Q - взаимная корреляционная матрица ошибки и оценки. Из уравнения (10.249) нетрудно получить

Q,2 (А -К° С) Qi, + Q,, (А -ВК*) +-Q„ С К» ~К° Ro К°.

В силу равенств Qji = Р и К" =Р CRo" последние два слагаемых в правой части сокращаются, поэтому уравнение для Qi2 является линейным и однородным. И так как Qj (to) - О, то оно имеет единственное решение Q,2 (/) = 0. Это и доказывает, что ошибка е {t) и оценка х (/) не коррелированы.

Преобразуем критерий оптимальности (10.245). Используя (10.187), получаем

М {е Qe} = tr М {ее Q} = tr {PQ}; М {е 0} = tr М {е Q} = tr {Q, Q} = О,

поэтому

M{xQx} ==М{(х-x"+)Q(x-х + 5о} = = М {е Qe} Ч- 2М {eQT} + М (ij Q?} = tr {PQ} 4- М {?" Q}; М (х- {tf) Fx {tf)) = tr {P {tf) F} + M W (t,) m

и критерий оптимальности (10.245) можно преобразовать к виду

1 f

У-М х/у) F X (<,) + J [x(/)Q(Ox(0-f

-uT{t)R{t)u(t)]dt H-tr

P(OQ(0 dt

Последние два слагаемых в этом выражении не зависят от управления. Таким образом, исходная задача свелась к следующей стохастической задаче линейного оптимального управления с полной информацией;

Вы + К" (у -с7); (д = Хо;

Л = М х {tf) F X (tf) + Г (х Qx -Ь ц" Ru) dt



PeojeHHe этой задачи, как это следует из решения (10.179), (10.180) задачи (10.175), (10.176), определяется соотношениями (10.246) и (10.247), если слагаемое К" (у - Сх) или его

сомножитель у - Сх является белым шумом. Невязка будет белым шумом, если интеграл от нее, т. е. стох.астический процесс 1(1(0. определяемый уравнением

Г1=у-Сх, r,(g = 0,

является процессом с независимыми приращениями. Чтобы доказать это, рассмотрим совместно процессы rj (/) и e(t). Подставив выражение у, последнее уравнение можно преобразовать к виду Г] = Се -4- V,,. Это уравнение совместно с уравнением (10.219) для ошибки можно записать в виде Z = Gz + Hw, где в данном случае

; н =

; w =

Дисперсионное уравнение для рассматриваемого процесса имеет вид 1см. (10.217), (10.218), (10.250)1

VE -К"

/О с

,0 А-К" с/ •Qo О \

Q4-Q

СГ А7- ск;от Е

\ ~ /0 0

; Q(/o) =

Представим матрицу Q в виде

Qn Qw

(10.251)

где Q,i - матрица дисперсии ц; Qi - дисперсионная матрица ошибки (Q22 = Р). Из дифференциального уравнения для Q имеем:

Qii = CQ, + С -f Ro; Qu (g = 0;

Q12 = -Qi2 (A -C KO "Ro

Qi2(/o)=0-



в силу равенств Qa = Р и К" = Р CRo второе уравнение является однородным, поэтому оно имеет единственное нулевое решение; (t) = О, t > 4- Уравнение для Оц принимает вид

откуда

Qii = Ro; Qu(g=o,

Qii = JRoWT-

(10.252)

Для корреляционной матрицы имеем [см. (10.216)1

i Z(/2,gQ(g при где Z (/, g - фундаментальная матрица уравнения

Z = Gz

yo С

\0 А-КС

(10.253)

(10.254)

Представим фундаментальную матрицу в виде

Zja/

Тогда решение (10.254) примет вид

и (О - Zu (Л /о) ч (д+[t, g е (g;

е (О - Z,i (./, g г] (g + Z3, (/, g е (/о). С другой стороны, из уравнений

ё = (А -KQe; 11 = Се

имеем

(10.255)

е (О = (t,to) е(д. МОц (to) + J (т. g е (д dx.



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [ 127 ] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0012