Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [ 137 ] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

Пример 11.2. Пусть функция качества имеет следующий вид:

У (X,. Xs) =л:J -} х -1 1 .Бх, Х2. (11.24)

Найдем минимум J методом наискорейшего спуска из точки(Xi = 2, х„ = 3). В исходной точке частные производные

Xl = X

. =2xi + .52=8.5:

, =.2х.И-1,5х;=9.

(11.25)

Двигаясь в направлении, обратном полученному градиенту, найдем координаты следующей точки (xi, Xj), т. е.

.V, =х, -а \dJ (х,, A2)/a.Vi], , =2 -fl-8,5; xl =Х2 -а \di (X,. X2)/a.V2j, , =3 -9о,

(11.26)

где и - пока неизвестный шаг перехода из точки (х, Xj) в точку (Xj-О-

Шаг определяем, подставляя (11.26) в (11.24), т. е.

У (.V,, .<г)= / х\-а\dJ (Xi, Ajj/ViXi] , И -i- i X 2 - а [<ЭУ (Xj, .V2) /<5x2l. , )" -1--f 1.5 jxi-a \dJ (.V,, .v.,)/uviJ .

Xj-a lay (x,, .v.J/ax2b

(11.27)

или, учитывая (11.26),

У (о) = (2 - 8,5а)2+ (3 - 9а)2 + 1,5 (2 - 8,5 а) (3-9а). (11.28) Преобразуя (11.28), получим

У (а) =- 268а2 166,75а -- 22. Находим а,„ах из условия

dJ {а)/да = 0.

ау (а)/аа = БЗба - 166,75 = О,

откуда Ощах ~ 0,31, Подставив Ощах в (1 1.26), находим координаты точки (Xj, xi):

Xi=ii.2 -0,31-8,5=-0,635; х - 3 - 0,31-9 = 0,21. (11.32)

Поступая аналогичным образом на второй итерации, получим следующие значения координат;

X™ =0,037; х = -0,16. (11.33)

(11.29) (11.30) (11.31)



Итак, практически за две итерации поиска система оказалась достаточно близкой к минимуму (Xj = О, = 0).

Методы экстраполяционного поиска. Экстраполяционные методы поиска строятся на базе двух предположений: либо заранее известно значение экстремума функции качества J (х), либо функция J (х) может быть приближенно представлена какой-нибудь известной функциональной зависимостью.

Простейшие методы экстраполяционного поиска предполагают замену реальной функции качества кусочно-линейной функцией или квадратичной параболой.

В первом случае (линейная экстраполяция) по двум замерам У (Хо -f А) и J (Хо - А) и истинному значению экстремума •/extr определяют положение точки экстремума Xi, т. е.

1 = ,. + А + 2А [Уехш -У (Хо + А)]/гУ (Хо + А) -У (Хд-А).

(11.34)

Проверка истинности полученного положения экстремума осуществляется с помощью равенства

У(Х,)-Уех(г. (И-35)

При невыполнении равенства (11.35) процедура линейной экстраполяции повторяется, но для замеров х ± А.

Во втором случае (квадратичная экстраполяция) по трем, замерам функции качества У у (х,, - А), Уг = У (х„). Уз = = У (х„ + А) записывают три линейных уравнения второго порядка:

(x„-Af + b(x„-A)-\-cJu

(11.36)

axl + bxg+c J.2, a{Xo + AY + b (xo-f А) + с = Уз-Решая систему уравнений (11.36). находят значения коэффициентов а, b н с:

с=(Л-2У2 + Уз)/(2А=); с=У„

(11.37)

(Уз- Jr Хо/(2А) + (J,- 2Уг + Уз) х1П2А).

Учитывая, что минимум квадратичной параболы У = = ах" + Ьх + с расположен в точке x„in = -6/(4а) и равен у, = с - Ь(4а), можно получить величину шага для смещения в экстремум

X, - Хо - (А/2) (Уз - Уа)/(У, - 2Уг + Уз) (11-38)



и величину предполагаемого экстремума

Ушш =-Л- Us -Jif/l {Jl - 22 + Js)l {11.39)

Сравнивая действительное значение функции качества в точке J {х) с предполагаемым минимумом из (11.39), можно судить о близости к действительному экстремуму. Поиск заканчивается при совпадении с заданной точностью е предполагаемого значения минимума и получаемого значения функции качества в смещенной точке.

Все рассмотренные регулярные методы поиска, кроме полного перебора, обладают существенным недостатком, проявляющимся при наличии у функции качества нескольких экстремумов, один из которых глобальный. Если исходная точка поиска окажется на склоне локального экстремума, то поиск прекратится в окрестности этого локального экстремума. Указанная трудность в поиске глобального экстремума часто устраняется с помощью методов случайного поиска.

Методы случайного поиска

В основу случайного поиска положен известный метод проб и ошибок, в соответствии с которым удачно найденное решение принимается, а неудачное - отвергается. «Разумность» метода проб и ошибок базируется на предположении о том, что случайный выбор содержит все возможные решения, в том числе и искомое.

Методы случайного поиска применяют при определении положения как локального экстремума, так и глобального экстремума. Часто локальный случайный поиск хорошо дополняет методы регулярного поиска, ускоряя их на начальных этапах.

Локальный случайный поиск с возвратом, В данном методе первоначально производится фиксированный шаг в случайно выбранном направлении. Если значение функции качества в ново.м состоянии J {Xi + А) превышает исходное значение J {Xi) или остается неизменным, т. е. случайный выбор оказался неудачным, то происходит возврат в исходное состояние Xl, откуда осуществляется новый шаг в случайном направлении. Если значение J {Xi + А) уменьшилось, то следующий шаг в случайном направлении делается уже из точки (х -f Д).

Алгоритм поиска можно записать в следующем рекуррентном виде:

д;,-+1 =х,-ЬАх,+ 1,



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [ 137 ] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0011