Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [ 13 ] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

об устойчивости автоколебаний. Рассмотренные методы позволяют формально найти периодическое решение линеаризованного уравнения системы, но не все эти решения будут соответствовать реально существующим автоколебаниям. Физически возможны лишь устойчивые периодические движения, поэтому возникает проблема исследования устойчивости найденных периодических решений. К сожалению, пока не удалось найти необходимых и достаточных условий устойчивости решений, полученных методом гармонического баланса, в особенности для неоднозначных характеристик. Л. С. Гольдфарб, используя критерий Найквиста, получил следующий критерий. Пусть построены кривые W (Jco) и - С„.э (А). Будем дзигаться по кривой - С„.э (Л) в направлении возрастания Л. Если разомкнутая линейная система устойчива, то той точке пересечения характеристик W и - С„.э (Л), в которой мы входим в контур амплитудно-фазовой характеристики W (/«), соответствует неустойчивое периодическое решение, в точке же выхода из контура решение устойчиво и эта точка определяет параметры автоколебаний. Так, на рис. 7.35, а точке М соответствуют устойчивые, а точке N - неустойчивые автоколебания. При использовании обратной амплитудно-фазовой характеристики G (j(o) и характеристики - W. (А) также двигаемся в направлении возрастания Л, При этом устойчивые автоколебания соответствуют точке входа в контур М, неустойчивые - точке выхода из него (рис. 7.36, б).

Показано, что для однозначных характеристик этот критерий является необходимым, но не достаточным, хотя в практических задачах он приводит к правильным результатам. Для неоднозначных же характеристик пока не удалось обосновать даже только необходимости или только достаточности критерия.

§ 7.8. Устойчивость в малом, большом и целом

В нелинейных системах движение или равновесие, устойчивое в малом, может оказаться неустойчивым при больших отклонениях и первый метод Ляпунова, рассмотренный в гл. 3 для исследования устойчивости на основе уравнений линейного приближения, уже недостаточен для полного исследования устойчивости в нелинейных системах.



Анализ устойчивости движения можно свести к анализу устойчивости равновесия (тривиального решения) в преобразо-. ванном фазовом пространстве отклонений. Исследуемое движение и его траекторию считают невозмущенными; предполагается, что к моменту времени, принимаемому за начало отсчета, возмущающие силы сместили изображающую точку с невозму-. щенной траектории на другую - возмущенную, после чего их действие прекратилось. Отклонения координат изображающей точки X = (Xj, Xj, .... х„} на возмущенной траектории в каждый момент t от тех координат точки на невозмущенной траек-, тории в тот же момент, которые имели бы место при отсутстт; вии возмущений, принимают за координаты нового фазового пространства. На основе исходных уравнений движения составляют уравнения в этих отклонениях. Но если для линейных систем уравнения в отклонениях были подобны исходным или даже несколько проще их, то для нелинейных систем форма уравнения в отклонениях может оказаться значительно более сложной, чем у исходных уравнений. Начало координат нового пространства будет устойчивой точкой равновесия, если устойчиво невозмущенное движение.

Если точка равновесия х = О устойчива, то вокруг начала координат существует область притяжения траекторийоб-ласть G (на рис. 7.37 однократно заштрихована). Если известно лишь то, что область притяжения существует, то считают, что состояние равновесия устойчиво в малом, т. е.устойчивость гарантируют лишь при достаточно малых отклонениях.

-Пусть область G существует. Зададимся областью допустимых начальных отклонений L, например, в вие гиперкуба


• : i.t,g

• \ -л



с центром в начале координат, ребра которого параллельны осям координат и имеют длину 2Х (на рис. 7.37 - дважды заштрихованный квадрат). В соответствии с определением устойчивости Ляпунова равновесие устойчиво (в малом), если можно выбрать такое К, что область L будет целиком принадлежать области G (рис. 7.37, а).

Для того чтобы определить устойчивость в большом, нужно задаться, кроме того, областью Lg возможных (по техническим условиям) в данной системе отклонений. Зададим Lg также в виде соосного с L гиперкуба с длиной ребра 2 К. Если гиперкуб Lq целиком принадлежит области G, равновесие устойчиво в большом (рис. 7.37, а), если часть его находится вне области G, равновесие устойчиво в малом, но неустойчиво в большом (рис. 7.37, б). Математически сказанное формулируется так: если при наперед заданном положительном е (соответствует зачерненным квадратам е на рис. 7.37, а, б) можно выбрать другое положительное число X (е) такое, что при начальных отклонениях х, удовлетворяющих условию

л:.о!<, = U 2, п,

значения Xt (t), i = 1, n, при всех / будут удовлетворять соотношению

\Xi (t) I < е, / = 1, п,

то равновесие устойчиво в малом.

Если, кроме того, возможные начальные отклонения удовлетворяют условиям

max х,о=-Хо. К<К t = I,2. п, (7.43)

то равновесие устойчиво в большом.

Если область G распространяется иа все пространство, равновесие называют устойчивым в целом. Так как обычно границы области G установить бывает трудно, об устойчивости в целом судят по величине к: если она не ограничена, т. е. условие \Xi {t)\ < е соблюдается при любом сколь угодно большом "к, имеет место устойчивость в целом.

Если приведенные условия соблюдаются при любом сколь угодно малом е, говорят, что равновесие устойчиво асимптотически.

Для исследования устойчивости в большом и целом используют специальные методы, из которых ниже коротко рассматриваются два - второй (прямой) метод А. М. Ляпунова и ме-



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [ 13 ] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0019