Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [ 14 ] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

тод в. М. Попова - для исследования абсолютной устойчивости (т. е. устойчивости в целом для определенного класса не-линейностей).

Пример 7.2. Получим уравнения в отклонениях для исследования устойчивости периодического движения

k=sAo sin (fio l-ipo);

У = A„ [g sin (Ro t + Фо) + b cos (Qo t + фо)1

(7.44)

выражающего основную гармонику автоколебаний н являющегося точным решением уравнения (7.31)

D (р) [А sin {Ш + ф)] = +К (р) А [g sin {Qt + ф) + й cos {Qt + + Ф)1, (7.45)

и приближенным решением уравнения (7.29). Считая (7.44), в котором Qq = const и Фо = const, уравнениями невозмущенного движения, зададим приращения двум основным параметрам Ло и (или фр):

Ai4 = А - A(j\ Дф = ф - фо=Д {Qt).

Так как g и b зависят от А, они также получат приращения Ag и Ай, но найти их непосредственно нз (7.34) нельзя, так как в подынтегральные выражения теперь входит неизвестная функция времени А (t). Чтобы обойти это затруднение, прибегают к приближенному нахождению Ag и Ай, для чего предполагают, что А изменяется настолько медленно, что в течение одного периода (7" = 2я/йо) оно мало отличается от постоянного и может быть заменено постоянным числом, равным усредненному за период значению А. Тогда по (7.34) на.ходят g и b как функцию подобного изменяющегося ступенями от периода к периоду аргумента А. Затем вводят еще одно допущение: в полученных функциях g (А) и b (А) аргумент А является уже не ступенчатой, а непрерывной функцией и приращения Ag и А6 выражаются через АЛ следующим образом:

Ag=.{dg/dA)oAA; b = (дЫдA)a АА. (7.46)

Используя (7.45) и известные в математике выражения для преобразования действия линейного оператора М (р) (где М - полином, а р = didf) на произведения функций и (/) sin Qq (О, " (О oos QqI, fio = const, т. е.

М (р) [и (Г) sin Qo] = sin oAi (P) « (0 + cos Qo (p) и (0; M (p) [m {f) cos QoI = cos QtMi (p) и {t) - sin QoM (p) и (t), где Mi(p) = ReM (p-b)Qo); Mg (p)= Im M (p + yQo), получим

sin Q {Dl (p) (A cos 4l5) -Da (p) {A sin >\->)+Ki (p) [g {A cos if) - -b{A sin 1)))] -Ki (p) [g (A sin )+b (A cos ijj)]) +cos Qt [Dz (p) (-4 cos ij))-b + Di (p) A (sin ) + K2 (P) Ig (A cos ijj) -6 (A sin ijj)] -f/(j (p) [g (Л sin ij?) -f

-Ь6(Лсозя15)]}=0,



(7.47)

£>! (р) = Re D (р -Ь /Q); (р) = Re /( (р + /й);

(р) = Im D (р Ч- /Q); (р) = Im К (р + /О).

Подставляя Af) + АЛ вместо Л и ijjo + Ai); вместо i);, после преобразований и отбрасывания малых высших порядков получим

sin(fto< + 1o) {[0,(0)+§о/<.(0)-йоК2(0)1 Ло-Ь[0,(р) + ( + Л)о X

)iKi{p)-ib+Ab)aK2(f)\ АЛ-[Оа (р)Л-ЬоКу(р) + Ва1и (р)\ -о Ai])} --

+ cos (fio + Чо) {[Й2 (0) + 6„ /Cl (0) Ч- §0 /<2 (0)] Л о -Ь [Da (Р) + (й + Л6 )о X

X /С, (Р) + {S+Ag )о /Сг (Р)] АЛ + [D, (р)+„ /(, (р)-Ьо /Сг (р)] Л» Аг),} =0.

где (g + AdgldA) = (g + Л§)о; + Лай/аЛ) = (6 -Ь Лб). Исключая уравиеиия установившихся автоколебаний

Ol (0) -I- go-fCi (0) - ЬоКа (0) = 0;

(0) + goKa (0) - boKi (0) = О и приравнивая порознь нулю коэффициенты при sin и cos получим [Ог (p) + {.g + Ag-)o Кг (р) - (Ь + Л6)„ /С (р)1 АЛ --[2 (Р)+6о/С, (р) + й/<2 (Р)1 А = 0; (Da (р) + (6 + ЛЬ )о /С, (Р) + (g + g )о /Сг (р)1 АЛ + + [О, (р)Ч- go /С, (Р) -бо /Сг (Р)1 /1« At = 0.

Это линеаризованные уравнения в отклонениях параметров автоколебаний - амплитуды Л и фазы ф. Они значительно сложнее исходного уравнения (7.45). Исследование устойчивости периодического движения в малом свелось теперь к исследованию устойчивости в малом равновесия или тривиального решения ДЛ = О, Аф = О путем при ложения любого из критериев устойчивости к характеристическому уравнению

DI (Р) + D (р)-I- [/С? (р) + Kl (Р)1 [g-1-Ь1 -f- Ло (g„ g + Ьо Ь)Ц-+ (2go+/log) [Di (Р) /С, (Р) + 02 (р) /Сг (p)j + (26„-f-Ао 6) [Dj (р) /С, (р)- -О, (р)/С2(р)=0. (7.48)

Эквивалентную гармоническую линеаризацию можно осуществить по уравнениям (7.47).

«Медленность» изменения параметров Лиф позволяет существенно упростить приближенное исследование переходного процесса при малых отклонениях.

Если £)(р)=с„+ 2 OvP. то

D(p+/Q)=,o„+ 2 °v(p-f/fi)=-flo-f 2 а,Я(Р/Й+Л-

V= 1 V= 1

«Медленность» изменения означает, что скорость изменения функций в любой момент времени принимается малой в сравнении с й, но учитываемой величиной, высшие же производные рЛ и рф считают-



ся в сравнении с Q малыми высших порядков и отбрасываются. Пренебрегая p/Q <t 1, V > 1, оставляем в полиномах Di, D2, К, и Кг свободные члены и члены, содержащие р в первой степени, и получаем пару уравнений первого порядка для приближенного описания изменения переменных

Аа=А cos-ф и АдА sin .

§ 7.9. Второй (прямой) метод Ляпунова

Второй (прямой) метод Ляпунова основывается на построении специальных функций Ляпунова, позволяющих получить достаточные условия устойчивости равновесия в большом. В его основе лежат две теоремы Ляпунова, приводимые ниже без доказательства.

Теорема 1.. Если суш,ествует знакоопределенная функция V (Xj, Хп), производная W = dVldt копюрой по времени в силу дифференциальных уравнений движения или представляет собой знакопоспюянную функцию противоположного с V знака, или тождественно равна нулю, то невозмуиенное движение устойчиво.

Теорема 2. Если, кроме того, функции W знакоопределена, то невозмущенное движение успюйчиво асимптотически.

Отметим, что знакопостоянной называют функцию, принимающую при всех значениях своих аргументов только значения одного знака или нулевое, а знакоопределенной - знакопостоянную функцию, принимающую нулевое значение только при нулевом значении всех ее аргументов (в начале координат).

Уяснить смысл функций Ляпунова и сформулированных в приведенных выше теоремах условий устойчивости легко с помощью понятий фазового пространства.

Если К (Xj, х„) - знакоопределенная функция, то уравнение V (xj, х„) = С = const обычно определяет в фазовом пространстве {xj, х,,} замкнутую поверхность, охватывающую точку xi=0 (начало координат). Поверхность V == находится внутри поверхности V = Cg, если Q < С. При приближении С к нулю поверхность стягивается в точку х=0.

Если в силу уравнений движения определенно-положительная функция V с течением времени только убывает, т. е. dVldt определенно-отрицательна, то это означает, что с течением времени изображающая точка переходит с внешних поверхностей на внутренние, все время приближаясь к началу координат.



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [ 14 ] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0011