Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [ 16 ] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

кости (о, I), укладываются в угловом секторе, образованном двумя прямыми:

где К2 > /Cl.

Про такие нелинейности говорят, что они относятся к классу (/Cl, /С2) или что они принадлежат сектору (/Сц /Cg). Нелинейности из класса (/Ci, /С2) определяются следующим условием:

/С, < Ф {а)/о < /СаДЛя а О; ф (0) = 0.

Это условие равносильно неравенству

Рг (О, I) = (Ка ~1)а~ /Cio) > 0. (7.56)

Левая часть (о, ) является квадратичной формой вещественных переменных и о. Очевидно, условие (7.56) является частным случаем более общего условия

F (а, I) > О, (7.57)

где F (а, ) - произвольная квадратичная форма вещественных переменных и о. Если характеристика = ф (о) или пара (I, ф) удовлетворяет неравенству (7.57), то говорят, что она удовлетворяет локальной связи с формой F (а, ). Наряду с классом нелинейности, определяемым локальной связью, рассматривают класс нелинейных характеристик, который задается интегральной связью.

Будем говорить, что характеристика Е - ф (а) удовлетворяет интегральной связи с формой F (, а), если существуют последовательность оо и число Г > О, такие, что выполняется неравенство

jf 11(0, 0(01 Г, (7.58)

т. е. мы требуем, чтобы при возрастании / интеграл не стремился к отрицательной бесконечности [П1.

При выполнении локальной связи удовлетворяется и интегральная связь с той же формой. Обратное утверждение не имеет силы. Существуют функции, удовлетворяющие интегральной связи, но не удовлетворяющие локальной связи с той же формой.

Наконец, отметим, что при определении классов нелиней-ностей ограничения могут накладываться ие только на и с.



но также и на производную а = daldt. Поэтому, когда такие ограничения накладываются, будут рассматриваться связи с квадратичной формой F (1, а, а).

Отметим некоторые подклассы (Ki, К).

Подкласс {О, К) удовлетворяет условиям .

0<ф(а)/а</<:, если at 0; ф((0)=0, (7-59)

или F(l, сг) = (/Са-)>0.

Подкласс (О, оо) - любая ф (а), расположенная только в первом и третьем квадрантах плоскости (а. Е):

у,. 0<ф(а)/а<оо; аО; ф(0)=0, 1

.или Fil, о)=о>0. I

Для практических целей наиболее удобной формой определения устойчивости нелинейных систем являются частотные критерии, в которых используется запись уравнений в виде (7.52) и частотная характеристика линейной части W (/ш). Для формулировки частотных критериев потребуется предварительное преобразование квадратичных форм, входящих в локальные и интегральные срязи. При этом используются понятия эрмитовой формы и эрмитова расширения.

Напомним, что эрмитовой, формой от п действительных или. комплексных переменных Zj,..., .z называется многочлен

где А ~ эрмитова матрица, т. е. матрица, в которой элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, являются комплексно-сопряженными числами {ац = ац*). Здесь звездочка обозначает комплексное сопряжение, Т - транспонирование {г* = {z\, zl, z)]. Эрмитова форма принимает только действительные значения; Эрмитова форма

С (фот п комплексных переменных Zj,..., z„ называется эрмитовым расширением квадратичной формы G (х) от п действительных переменных Xi, ... х, если при z = х эти формы рав-

ны (С (z)l г,; = G (х)). В частном случае, когда квадратичная форма G (х) представлена в виде произведения двух линейных форм Cl (х) и Gs, (X) lG(x) = Cl (х) Gj, (х)], как легко проверить, ее эрмитовым расширением будет форма

, , C(z) = Re [Cl (z) G\(z)l = Re [Gt (z) G (z)]. (7.61)



Пусть рассматривается локальная или интегральная связь с формой F {I, а, а). При формулировке частотного критерия используется следующее преобразование. Находится эрмитово расширение F (Е, о, а) формы F (£, о, а). Знак ~ над переменной означает, что она принимает комплексные значения.

Переменные , о, а можно рассматривать как изображения Лапласа для переменных а, а. При использовании уравнения а = - (s) I (см. (7.52)), переменные а и а исключаются, а затем в передаточной функции 1 (s) производится подстановка s = /оз. В результате получается частотная функция

F а, /«) -W (у«) 1, -jaW (/«) Г] •

в частном случае, когда F (5, сг, ст) представлена в виде произведения двух линейных форм F (i, а, ст) и F Ц, ст, ст), в силу (7.61) имеем

F а, /со) := Re\Fu. (о). Е )* f 2« (ш, £)], (7.62)

Ги>(ш. ) = [I, - W (/«) I, -/соИ/ (/«) Г

f 2« (Ю, f) = /2 [ Г, - (У«) 1~ - /« W (/(О) I

Найдем частотные функции для нелинейностей подклассов (Лг, Kz), (0. К) и (0. оо). Для подкласса (Kj, /Сг) из (7.56) и (7.62) получаем F (/ю, g) Re { - [1 + /CaU (/ю)1* ll + + /Cl Щ/и)1} 1*1 или. так как g* ==

Г (/(О, Г)= - Re 1(1 +/С. U (/«))* (1 + Кг W (/«)] 11 р. (7.63)

Для подкласса (0,/С), положив в (7.63) /Ci = 0, ~ О, имеем

)= - Re И + KW (/ш)111 Г- (7.64

Для подкласса (О, оо) из (7.60) получим

F (/ш, I) = Re а* - -Re \Г (/«) 11Г (7.65)

Введем понятие минимальной устойчивости.

Если равновесие х = О системы (7.53) будет устойчивым хотя бы для какой-либо характеристики ф (о) из данного класса, то равновесие называется минимально устойчивым в данном



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [ 16 ] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0012