Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [ 17 ] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

классе. При использовании частотных критериев обычно начинают с проверки минимальной устойчивости. Это проще всего сделать для линейных систем, получающихся из системы (7.52) путем замены нелинейной характеристики = ф (а) линейной о = 1"> 1 ~ const, принадлежащей тому же классу. Для нелинейностей из класса {Ki, к2) выбирается j, из условия / <; j, < Кг- Система (7.53) минимально устойчива, если характеристический полином замкнутой линейной системы

D (s) + liM is)

удовлетворяет условию Гурвпца нли если матрица А = = (j, be имеет все собственные значения, расположенные слева от мнимой оси.

Квадратичный критерий абсолютной устойчивости. Пусть функция Ляпунова для системы (7.53) ищется в виде квадратичной формы

V(x) = x7Hx, • (7.66)

где Н - искомая положительно-определенная постоянная симметричная матрица, которая ищется из условия, чтобы в соответствии с условием устойчивости по Ляпунову полная производная по времени V (х) была отрицательной в силу уравнений (7.53). Продифференцировав V (х) по времени и подставив значения х и х из (7.53), получим

V (х) = х Нх Ч- х Нх = (Ах + Ь1У Нх Ч-+ Н (Ах + Ь) = 2х Н (Ах + Ь1) < О (7.67)

для всех I и для всех х. (При получении (7.67) использовано), что х Н (Ах Ч- Ь) = (Ах + Ъ1У Нх, так как это скаляры.)

Однако найтн Н только из одного неравенства (7.67) невозможно по той причине, что в нем не учтена связь между переменными I и X и эти перемешшге рассматриваются, таким образом, как независимые. Если считать независимым от х, то, при любом, заданном х всегда можно выбрать столь большое положительное , что 2 х Н (Ах Ч- Ь) в (7.67) станет положительным и, следовательно, положительно-определенной матри-iibi И, при которой неравенство (7.67) удовлетворяется для всех X и всех X, не существует. Для того чтобы решить поставленную задачу, надо учесть связь = ф (сх), добавив ее к неравенству (7.67). Наиболее удобно добавить эту связь в виде условия

F (X, I) = f il, о) > 0. (7.68)



где F - квадратичная форма (локальная квадратичная связь). Тогда Н выбирается из условия, чтобы выполнялись одновременно неравенства (7.67) и (7.68). Эти два неравенства можно заменить одним эквивалентным:

xF (I, X) -f 2цг Н (Ах + Ы) < О, (7.69)

где т > О - произвольная положительная постоянная.

Переход от двух неравенств (7.67) и (7.68) к одному неравенству (7.69) называют S-процедурой, так как первоначально форма F обозначалась через S. Доказательство эквивалентности этих неравенств - «неущербности S-процедуры» - сложно. Столь же сложно обоснование перехода от неравенства (7.69) к неравенству (7.70), связывающему эрмитовы формы, - оно основывается на теореме Крейна-Шмульяна. Эти доказательства, так же как и полное доказательство частотной теоремы ЯкубЬвича - Калмана, о которой говорится дальше, не приводятся. Более подробно об этом см. в [И1.

Перейдем к комплексным переменным, при этом неравенство (7.69) заменяется аналогичным неравенством для эрмитовых форм, полученных из данных описанным выше способом, т. е, неравенством

2 Re X* Н (Ах + Ь) + ? (, (/wE - А)-» bg) О. (7.70)

В. А. Якубовичем и независимо Р. Калманом в 1962 г. была доказана «частотная теорема» (называемая также леммой Калмана - Якубовича), на которой, но существу, основывается современная теория абсолютной устойчивьсти. Применительно к рассматриваемому случаю содержание этой теоремы можно изложить так: для того чтобы неравенство (7:70) выполнялось для всех X и I, т. е. для того чтобы существовала функция Ляпунова вида (7.66), необходимо и достаточно, чтобы для всех (О выполнялось частотное условие

F [I. (/«Е - А)-1 Ь J < О, - - V (7.71)

или в другой записи ... ., .. •

F[%, -WJ(/«)] <0. (7.72)

Показать, что условие (7.71) необходимо, несложно. Так как неравенство (7.70) должно выполняться для всех х, , то оно должно выполняться и для значений х, , связанных соотношением

Ax + bf = /(ОХ, т. е. при х= (/мЕ-А)-Ь .



Но тогда X* Н (Ах + Ь) = /мх* Нх. Так как х*Нх есть вещественная эрмитова форма, то х*Н (хА + Ь) - чисто мнимое число Rex* (Ах + Ь) = О и неравенство (7.70) выполняется только если выполняется (7.71).- Необходимость условия (7.71) .оказана. Доказательства достаточности из-за его громоздкости не приводим.

Перейдем к формулировке квадратичного частотного крите-

"jlycTb дана система (7.53), у которой матрица А не имеет собственных значений на мнимой оси, пара А, b управляема, а система (7.53) минимально устойчива в классе функций «р (о), удовлетворяющей локальной или интегральной квадратичной связи с формой F (I, о) > 0.

Тогда для абсолютной устойчивости системы в классе данных функций достаточно, чтобы форма F (/м, ) была отрицательной для всех (О, т.е. чтобы выполнялось неравенство (7.72) для всех - oo<(o<-foo и любого фО.

При этом в случае выполнения локальной квадратичной связи абсолютная устойчивость будет также экспоненциальной, т. е. можно найти такие дае положительные постоянные О О и а > О, зависящие лишь от коэффициентов уравнений и формы F,4TO при любых / > to решение уравнений (7.53) будет удовлетворять неравенству

х(/; /схо) К (С х„е-««-«). : (7.73)

Из этого достаточно общего критерия для различных конкретных видов формы F получаются различные более конкретные частные критерии. Рассмотрим некоторые из них.

Круговой Крит ер ий устойчивости. Для. нелинейностей из класса (Ki, К, удовлетворяющих неравенству (7.57), эрмитова форма F (/ш, ) имеет вид (7.63) и неравенство (7.72) после подстановки (7.63) и деления на постоянное число IIP принимает вид

Re {\-\-KW (/«))* (1 -f KyW (/(О) > 0. (7.74) Обоз1йЧим

W (/(О) = Р + /Q; TF* = Р - jQ, • • =

•Де Р и Q - функции м. Подставив эти значения в (7.74), получим

1 + (/Са + /С.) Р + КгК (Р + Q) > 0. (7.75)



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [ 17 ] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0012