Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [ 22 ] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

Пример 7.3. Покажем, как частотный критерий может быть использован при неустойчивой линейной части. Пусть передаточная функция W (s) равна

\(s)- --; а>0; Р>0. (7.88)

(s + a)(s-P)

т. с. Б состав линейной части входит неустойчивое звено.

Представим схему системы в виде, изображенном на рис. 7.45, с н запишем уравнения в переменных состояния в виде

Xi - f>Xi + X2; Jt2= -ctJa + E: Е = Ф(о): o=-Xi. (7.89)

Иногда удается преобразовать линейную часть наиболее простым способом, охватив ее отрицательной обратной связью:

где g - скалярная постоянная. Тогда-

Wi(s) W {s)/[l + gW (S)]. (7.90)

Однако следует проверить, существует ли такое преобразование, т. е. существует ли такое g, при котором характеристический полином линейной части будет гурвицевым.

В нашем случае, подставив в (7.89) = 1 - gXi, получим новые уравнения:

Xi = PJi -- ху, Х2 = -gxi -а.г2 + ; I, =Ф(а)-Ь ga=<pi(a); a = .v,.

Характеристический полином новой системы

«2 + (а - Р) S + g - ар.

f{6)

1

9(6)

Рнс. 7.45



9z(P-P)\-

I I I I

Рис. 7.46

Отсюда видно, что такое стабилизирующее значение g существует, если а > р.

Пусть это условие выполнено. Тогда, включив обратную связь, получаем устойчивую линейную часть с передаточной функцией (s) и можем применить частотный критерий. Но чтобы схема с такой преобразованной линейной частью осталась эквивалентной исходной, нужно соответствующим образом видоизменить и нелинейный элемент. Новая нелинейная характеристика теперь будет ф (о) + gc, поэтому на схеме нужно охватить нелинейный элемент ф (а) отрицательной параллельной связью с тем же коэффициентом g (рис. 7.45,6)

Если характеристика <р (а) принадлежала, например, сектору (О, К) и для нее можно было (в случае устойчивой линейной части) использовать критерий Попова, то теперь нелинейность <pi (а) принадлежит другому сектору.

-g < Ф - g = [ф (о) - gc]/c К - g.

Вместо критерия Попова теперь уже нужно применить более сложный критерий: или круговой, или, если система стационарна, его можно усовершенствовать способом, аналогичным тому, который использовался при получении критерия Попова. Такое расширение условия Попова на системы с нелинейностью из нового сектора имеет вид

Re {[1 + gWi (/со)! [1 + (g + К) (У0))1* + fxaW (/со)} > 0. (7.91)

Пусть теперь р < а и стабилизация рассмотренного простейшего вида невыполнима. Найдем g в виде вектора g = {gi, gg}. Введем переменную = I, I gXi 4- g2X2 и, подставив ее в исходные уравнения (7.89), получим новые уравнения:

л1=Рх1 + -2;

xz giXi - (gi -«) Xi + \i;

?i = Ф (o) + Й о + (ft -g2 P) а=ф1 (о);

(7.92)



Характеристический полином этой системы

s2 + (a-P-g2)s+P(g2+a)-gi.

Так как р > к, то можно выбрать

< а - Р, gi < Р (g2 - а).

Преобразованные передаточная функция линейной части и нелинейного элемента теперь будут

. - . , . 1

WAs)= ,..,.(«-g2-p)s+P(g2-a)--gi

<р, os!.9(a)+g20+(gi-g2P)o.

Нелинейность получилась достаточно сложной (рис. 7.46), зависящей не только от I = <р (о) и о, но и от о, и можно применить общий частотный критерий, который можно будет вывести из общего условия (7.72).



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [ 22 ] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0011